Tenzor energie a hybnosti

Tenzor energie a hybnosti je kvantitativní tenzor ve fyzice, který popisuje hustotu a tok energie a hybnosti v prostoročasu. Zevšeobecňuje tenzor napětí z newtonovské fyziky. Je to atribut hmoty, záření a negravitačních silových polí. Tenzor energie a hybnosti je zdrojem gravitačního pole v Einsteinových rovnicích obecné teorie relativity, podobně jako je hustota hmoty zdroje tohoto pole v newtonovské gravitaci.

Definice

Tenzor energie a hybnosti zahrnuje použití proměnných v horním indexu. Jsou-li použity kartézské souřadnice v jednotkách SI, pak jsou složky polohy čtyřvektoru dány: 1=x0 = t, 1=x1 = x, 1=x2 = y, and 1=x3 = z, kde t je čas v sekundách, a x, y, a z jsou vzdálenosti v metrech.

Tenzor energie a hybnosti je definován jako tenzor Tαβ druhého řádu, který udává α-tou složku vektoru hybnosti povrchu s konstantními xβ souřadnicemi. V teorii obecné relativity je tento vektor brán jako čtyřhybnost. +more V obecné relativitě je tenzor energie a hybnosti symetrický,.

:T^{\alpha \beta} = T^{\beta \alpha}.

V některých alternativních teoriích jako jsou Einsteinova-Cartanova teorie, nemusí být tenzor energie a hybnosti dokonale symetrický z důvodu nenulového spinového tenzoru, který geometricky odpovídá na nenulový torzní tenzor.

Identifikace částí tenzoru

Vzhledem k tomu, že tenzor energie a hybnosti je tenzorem druhého řádu, jeho složky mohou být zobrazeny v podobě 4x4 matice:

: (T^{\mu\nu})_{\mu,\nu=0,1,2,3} = \begin{pmatrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{pmatrix}.

V následujícím, i a k rozmezí od 1 do 3.

Složka čas-čas je hustotou relativistické hmotnosti, to je hustota energie dělená rychlostí světla na druhou. To má zvláštní význam, protože to má jednoduchou fyzikální interpretaci. +more V případě dokonalé tekutiny je tato složka:.

:T^{00} = \rho,

a elektromagnetické pole v jinak prázdném prostoru je:

:T^{00} = {1 \over c^2}\left(\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2 \right),

kde E a B jsou elektrické a magnetické pole.

Tok relativistické hmotnosti přes xi povrch je ekvivalentem hustoty i-té složky hybnosti:

:T^{0i} = T^{i0}.

Složky

: T^{ik}

reprezentují tok i-té složky hybnosti přes xk povrch. Zejména

: T^{ii}

představují normálové napětí, které se nazývá tlakem, je-li nezávislé na směru. Zbývající složky

: T^{ik} \quad i \ne k

představují smykové napětí.

Ve fyzice pevných látek a mechanice tekutin, je tenzor hybnosti definován jako prostorová složka tenoru energie a hybnosti ve správném referenčním rámci.

Kovariantní a smíšené formy

Většina článku pracuje s kontravariantní formou Tμν tenzoru energie a hybnosti. Nicméně často je nutné pracovat i s kovariantní formou

:T_{\mu \nu} = T^{\alpha \beta} g_{\alpha \mu} g_{\beta \nu},

nebo smíšenou formou

:T^\mu{}_\nu = T^{\mu \alpha} g_{\alpha \nu},

nebo smíšeným tenzorem hustoty :\mathfrak{T}^\mu{}_\nu = T^\mu{}_\nu \sqrt{-g} \,.

Článek používá prostorupodobnou konvenci značení (−+++) pro metrický zápis.

Zákony zachování

Speciální relativita

Tenzor energie a hybnosti je konzervovaný proud Noetherové spojený s prostoročasovými translacemi.

Divergence negravitační hybnosti-energie je nulová. Jinými slovy, negravitační energie a hybnost jsou zachovány

:0 = T^{\mu \nu}{}_{;\nu} = \nabla_\nu T^{\mu \nu}{}. \!

Při zanedbatelné gravitaci a použití kartézských souřadnic pro prostoročas, mohou být vyjádřeny jako parciální diferenciální rovnice

:0 = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = \partial_{\nu} T^{\mu \nu}. \!

Integrální forma tohoto je

:0 = \int_{\partial N} T^{\mu \nu} \mathrm{d}^3 s_{\nu} \!

kde N je jakákoli kompaktní čtyřrozměrná prostoročasová oblast, \partial N je její hranice, trojrozměrný hyperpovrch, a \mathrm{d}^3 s_{\nu} je prvek hranice považovaný za vnější normální ukazatel.

V plochém prostoročasu s Kartézskými souřadnicemi, lze ukázat, že pokud se toto zkombinuje se symetrií tenzoru energie a hybnosti, moment hybnosti se také zachovává: :0 = (x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu})_{,\nu} . \!

Obecná relativita

Pokud není gravitace zanedbatelná nebo při použití libovolný souřadnicových systémů, divergence hybnosti-energie stále mizí. Ale v tomto případě zahrnuje volná definice souřadnic divergence použití kovariantní derivace. +more :0 = \operatorname{div} T = T^{\mu \nu}{}_{;\nu} = \nabla_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} + \Gamma^{\mu}{}_{\sigma \nu}T^{\sigma \nu} + \Gamma^{\nu}{}_{\sigma \nu} T^{\mu \sigma}.

kde \Gamma^{\mu}{}_{\sigma \nu} je Christoffelův symbol, který reprezentuje gravitační silové pole.

V důsledku toho, je-li \xi^{\mu} jakékoli Killingovo vektorové pole, pak může být zákon zachování spojený se symetrií generovanou Killingovým vektorovým polem vyjádřen jako

:0 = \nabla_\nu (\xi^{\mu} T_{\mu}^{\nu}) = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\nu( \sqrt{-g} \ \xi^{\mu} T_{\mu}^{\nu})

Integrální forma toho je

:0 = \int_{\partial N} \sqrt{-g} \ \xi^{\mu} T_{\mu}^{\nu} \ \mathrm{d}^3 s_{\nu} = \int_{\partial N} \xi^{\mu} \mathfrak{T}_{\mu}^{\nu} \ \mathrm{d}^3 s_{\nu}

Obecná relativita

V obecné relativitě působí tenzor energie a hybnosti jako zdroj zakřivení prostoročasu a je hustotou proudu spojenou s kalibračními transformacemi gravitace, což jsou obecně zakřivené transformace souřadnic. Pokud je tenzor energie a hybnosti torzní, pak již tenzor není symetrický, což odpovídá případu s nenulovým spinovým tenzorem v Einsteinově-Cartanově teorii gravitace.

V obecné relativitě jsou parciální derivace používané ve speciální relativitě nahrazeny kovariantními derivacemi. To znamená, že z rovnice kontinuity již nevyplývá, že negravitační energie a hybnost vyjádřené tenzorem se zcela zachovávají. +more To znamená, že gravitační pole může konat práci v hmotě a naopak. V klasické limitě Newtonovy gravitace to má jednoduchou interpretaci, energie je vyměňována s gravitační potenciální energií, která není zahrnuta v tenzoru energie a hybnosti a hybnost je přenášena přes pole na jiné objekty. V obecné relativitě je Landaův-Lifšicův pseudotenzor unikátním způsobem, jak definovat energii gravitačního pole a hustoty hybnosti. Jakýkoli takový pseudotenzor energie a hybnosti může zrušit místní transformace souřadnic.

V zakřiveném prostoročasu závisí prostorupodobný integrál obecně na prostorupodobném řezu. Ve skutečnosti není k dispozici žádný způsob jak definovat vektor globální energie-hybnosti v zakřiveném prostoročasu.

Einsteinovy polní rovnice

V obecné relativitě je tenzor hybnosti studován v souvislosti s Einsteinovými polními rovnicemi, které jsou často psány jako

:R_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2} R\,g_{\mu \nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu},

kde R_{\mu \nu} je Ricciho tenzor, R je Ricciho skalár, g_{\mu \nu}\, je metrický tenzor, a G je gravitační konstanta.

Hybnost-energie ve speciálních situacích

Izolovaná částice

Ve speciální teorii relativity, hybnost-energie neinteragující částice o hmotnosti m a trajektorii \mathbf{x}_\text{p}(t) je: :T^{\alpha \beta}(\mathbf{x},t) = \frac{m \, v^{\alpha}(t) v^{\beta}(t)}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\;\, \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_\text{p}(t)) = E \frac{v^{\alpha}(t) v^{\beta}(t)}{c^2}\;\, \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}_\text{p}(t))

kde (v^{\alpha})_{\alpha=0,1,2,3} \! je vektor rychlosti (nemělo by být zaměňováno s čtyřrychlostí)

: (v^{\alpha})_{\alpha=0,1,2,3} = \left(1, \frac{d \mathbf{x}_\text{p}}{dt}(t) \right) \,

δ je Diracovo delta a E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} je energie částice.

Hybnost-energie kapaliny v rovnováze

Pro dokonalou tekutinu v termodynamické rovnováze nabývá tenzor energie a hybnosti jednoduché formy

:T^{\alpha \beta} \, = \left(\rho + {p \over c^2}\right)u^{\alpha}u^{\beta} + p g^{\alpha \beta}

kde \rho je hustota hmoty-energie (kilogramy na metr krychlový), p je hydrostatický tlak, u^{\alpha} je čtyřrychlost tekutiny a g^{\alpha \beta} je převrácená hodnota metrického tenzoru.

Čtyřrychlost splňuje

:u^{\alpha} u^{\beta} g_{\alpha \beta} = - c^2 \,.

V inerciální vztažné soustavě pohybující se s tekutinou, lépe známé jako vlastní referenční rámec tekutiny je čtyřrychlost

:(u^{\alpha})_{\alpha=0,1,2,3} = (1, 0, 0, 0) \,

převrácená hodnota metrického tenzoru je

: (g^{\alpha \beta})_{\alpha,\beta=0,1,2,3} \, = \left( \begin{matrix} - c^{-2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \,

a tenzor energie a hybnosti je diagonální matice

: (T^{\alpha \beta})_{\alpha,\beta=0,1,2,3} = \left( \begin{matrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p \end{matrix} \right).

Elektromagnetický tenzor energie a hybnosti

Hilbertův tenzor energie a hybnosti volného zdroje elektromagnetického pole je

: T^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu \alpha} g_{\alpha \beta} F^{\nu \beta} - \frac{1}{4} g^{\mu \nu} F_{\delta \gamma} F^{\delta \gamma} \right)

kde F_{\mu \nu} je elektromagnetický polní tenzor.

Skalární pole

Tenzor energie a hybnosti pro skalární pole \phi , které splňuje Kleinovu-Gordonovu rovnici je

:T^{\mu\nu} = \frac{\hbar^2}{m} (g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} + g^{\mu \beta} g^{\nu \alpha} - g^{\mu\nu} g^{\alpha \beta}) \partial_{\alpha}\bar\phi \partial_{\beta}\phi - g^{\mu\nu} m c^2 \bar\phi \phi .

Varianty definice hybnosti-energie

Existuje celá řada neekvivalentních definic negravitační hybnosti-energie:

Hilbertův tenzor energie a hybnosti

Je definován jako derivace zobrazení

:T_{\mu\nu} = \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\mathcal{L}_{\mathrm{matter}} \sqrt{-g}) }{\delta g^{\mu\nu}} = - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{matter}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{matter}.

kde \mathcal{L}_{\mathrm{matter}} je negravitační část Lagrangiánu hustoty akce. Je symetrický a kalibračně invariantní.

Kanonický tenzor energie a hybnosti

Teorém Noetherové implikuje, že existuje zachovávající se proud spojený s translacemi v prostoru a čase. Tento jev se nazývá kanonickým tenzorem energie a hybnosti. +more Obecně platí, že není symetrický a pokud máme kalibrační teorii, nemůže být kalibračně invariantní, protože prostor závislý na kalibračních transformacích nekomutuje s prostorovými translacemi.

V obecné relativitě respektují translace souřadnicový systém a jako takové nejsou transformačně kovariantní.

Belifanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti

V přítomnosti spinu či jiného vnitřního momentu hybnosti nemůže být kanonický Noetherové tenzor energie a hybnosti symetrický. Belinfanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti je konstruován z kanonického tenzoru energie a hybnosti a spinového proudu takovým způsobem, aby byl symetrický a stále dodržoval zachování. +more V obecné relativitě souhlasí tento modifikovaný tenzor s Hilbertovým tenzorem energie a hybnosti.

Gravitační hybnost-energie

Podle principu ekvivalence bude gravitační hybnost-energie vždy lokálně mizet ve vybraném bodě ve zvoleném rámci, tedy gravitační hybnost-energie nemůže být vyjádřena nenulovým tenzorem. Místo toho musíme použít pseudotenzor.

V obecné relativitě existuje mnoho možných definic pseudotenzoru gravitační hybnosti-energie. Patří mezi ně Einsteinův pseudotenzor nebo Landaův-Lifšicův pseudotenzor. +more Landaův-Lifšicův pseudotenzor může být redukován na nulu v jakékoli události prostoročasu použitím vhodného souřadnicového systému.

Reference

Kategorie:Relativistická fyzika Kategorie:Obecná teorie relativity Kategorie:Speciální teorie relativity