Výroková logika

V matematice a logice se pojmem výroková logika označuje formální odvozovací systém, ve kterém atomické formule tvoří výrokové proměnné (na rozdíl od predikátové logiky). Výroková logika je, stejně jako fuzzy logika, podoborem matematické logiky.

Výroková logika se skládá ze * syntaktických pravidel - určují, kdy je formule správně utvořená, * odvozovacích pravidel - určují, jak z jedněch formulí správně odvozovat další stále validní důsledkové formule, * (nejvýše spočetné) množiny axiomů a axiomatických schémat.

Syntaxe

Nechť P je neprázdná množina symbolů nazývaných atomické výrokové formule (též výrokové proměnné). Abecedou jazyka výrokové logiky L_P jsou prvky množiny P, symbol \neg pro negaci a \Rightarrow pro implikaci. +more Výrokové formule jazyka L_P definujeme následovně: # Každá atomická výroková formule je též výroková formule. # Jestliže A je výroková formule, je i \neg A výroková formule. # Jsou-li A,B výrokové formule, je i A \Rightarrow B výroková formule. # Formule vznikne konečným počtem užití pravidel 2 a 3.

Pro zkrácení zápisu dále používáme označení * Konjunkce: A \land B pro \neg(A \Rightarrow \neg B) * Disjunkce: A \vee B pro \neg A \Rightarrow B * Ekvivalence: A \Leftrightarrow B pro (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A) * Exkluzivní disjunkce: A \oplus B pro \neg (A \Leftrightarrow B) * Tautologie: \top pro A \Rightarrow A * Kontradikce: \bot pro \neg (A \Rightarrow A) * NAND: A \uparrow B pro \neg (A \land B) * NOR: A \downarrow B pro \neg (A \vee B) * Obrácená implikace: A \Leftarrow B pro B \Rightarrow A

Sémantika

Pravdivostní ohodnocení (též interpretace) atomických formulí je jakékoliv zobrazení v : P \to \{0,1\}. Rozšíření w na výrokové formule definujeme induktivně takto: # w(A) = v(A) je-li A atomická formule # w(\neg A) = 1 - w(A) # w(A \Rightarrow B) = \max \{w(\neg A), w(B)\}

O formuli A říkáme, že je splnitelná, pokud existuje takové w, že platí w(A)=1 (též značeno w \models A). V opačném případě o formuli říkáme, že je nesplnitelná.

O formuli B říkáme, že je sémantickým důsledkem formule A, značeno A \models B pokud pro každé w, takové že w \models B platí i w \models A. Tato relace je částečným uspořádáním výrokových formulí.

Odvozování

Pro výrokovou logiku můžeme definovat jednoduchý deduktivní dokazovací systém sestávající ze tří schémat pro axiomy tvorbu axiomů a jediného odvozovacího pravidla.

Hilbertův axiomatický systém

Pro jakékoliv formule A,B,C jsou náledující formule axiomy:

# A \Rightarrow (B \Rightarrow A) # (A \Rightarrow (B \Rightarrow C)) \Rightarrow ((A \Rightarrow B) \Rightarrow (A \Rightarrow C)) # (\neg B \Rightarrow \neg A) \Rightarrow (A \Rightarrow B)

Odvozovací pravidlo

Stačí nám jediné pravidlo, tzv. Modus ponens: Jestliže A platí a A \Rightarrow B platí, pak B platí.

Důkaz

Důkazem nazveme konečnou posloupnost A_1,\ldots,A_n, jestliže pro každé i \leq n je A_i buď závěr odvozovacího pravidla, jehož předpoklady jsou mezi A_1 a A_{i-1}, nebo axiom.

Jestliže existuje důkaz výrokové formule A, říkáme o této formuli, že je dokazatelná.

Úplnost

Výroková logika je úplná a konzitentní v tom smyslu, že dokazatelné formule jsou právě ty, které jsou pravdivé v každém ohodnocení.

Externí odkazy

[url=https://web. archive. +moreorg/web/20160422231849/http://kti. mff. cuni. cz/index. php. select=teaching§ion=sources&lang=czech]Volně stažitelná skripta z předmětu Výroková a predikátová logika na MFF UK od Petra Štěpánka[/url].

Kategorie:Matematická logika