Šestiúhelníkové číslo

Šestiúhelníková čísla jsou figurální čísla odpovídající šestiúhelníku. Konkrétně je šestiúhelníkové číslo rovno počtu bodů, ze kterých lze sestavit pravidelný šestiúhelník dle obrázku.

První čtyři šestiúhelníková čísla

Vzorec pro n-té šestiúhelníkové číslo h_n je

h_n= 2n^2-n = n(2n-1) = {{2n}\times{(2n-1)}\over 2}.\,\!

Několik prvních šestiúhelníkových čísel je 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, atd. (. +more).

Každé šestiúhelníkové číslo je zároveň trojúhelníkové číslo, ale jenom každé druhé trojúhelníkové číslo je šestiúhelníkové. Stejně jako u trojúhelníkových čísel, může být ciferace šestiúhelníkového čísla (v desítkové soustavě) pouze 1, 3, 6 nebo 9, a to v pořadí 1, 6, 6, 1, 9, 3, 1, 3, 9, atd.

Všechna sudá dokonalá čísla jsou šestiúhelníková. Jsou dána vzorcem

M_p 2^{p-1} = M_p (M_p + 1)/2 = h_{(M_p+1)/2}=h_{2^{p-1}},

kde M_p je Mersennovo prvočíslo. Např. +more druhé šestiúhelníkové číslo je 2\cdot 3 = 6, čtvrté je 4\cdot 7 = 28, šestnácté je 16\cdot 31 = 496 a šedesátéčtvrté je 64\cdot 127 = 8\,128. Protože nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla, tak jsou všechna známá dokonalá čísla šestiúhelníková.

Největší přirozené číslo, které nelze zapsat jako součet nejvýše čtyř šestiúhelníkových čísel, je 130. Adrien-Marie Legendre v roce 1830 dokázal, že se takto dají vyjádřit všechna přirozená čísla větší než 1 791.

Test šestiúhelníkovosti čísel

Zda je přirozené číslo x šestiúhelníkové, lze snadno zjistit vypočítáním hodnoty následujícího výrazu

n = \frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}.

Pokud je n celé číslo, x je šestiúhelníkové číslo, jinak x šestiúhelníkovým číslem není.

Ostatní vlastnosti

Alternativně lze n-té šestiúhelníkové číslo vyjádřit jako součet

h_n = \sum_{i=0}^{n-1}{(4i+1)}.

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Figurální čísla Kategorie:Šestiúhelník