Cesko.wiki Alef 0
Author
Albert Flores\aleph_0 (Alef 0) (ve stejném významu se používá též \,\omega_0 či jen \,\omega) je nejmenší nekonečné ordinální i kardinální číslo.
Vlastnosti
\aleph_0 je * limitní ordinál a limitní kardinál * regulární ordinál * mohutností množiny přirozených, racionálních i algebraických čísel * nejmenší hodnotou funkce alef
Značení
V současné době jsou všechna tři značení pro nejmenší nekonečný ordinál (tj. \aleph_0, \omega_0, \omega) považována za v podstatě rovnocenná. +more Z historických důvodů ovšem bývá zvykem používat značení * \,\aleph_0 pokud hovoříme o tomto čísle jako o čísle kardinálním, * \,\omega_0 a \,\omega pokud o něm hovoříme jako o čísle ordinálním, přičemž index 0 se většinou užívá tehdy, uvažujeme-li toto číslo v kontextu vyšších počátečních ordinálních čísel.
Toto značení má své historické opodstatnění. V počátcích naivní teorie množin byla ordinální a kardinální čísla chápána jako typy dobrých uspořádání resp. +more mohutností množin, tedy jako odlišné objekty, které spolu nemají nic společného. Ordinální číslo \omega bylo chápáno jako typ dobrého uspořádání množiny přirozených čísel, tj. jako typ uspořádání, které je limitou typů uspořádání konečných množin. Odtud zřejmě pochází označení \omega posledním písmenem řecké abecedy. Naopak kardinální číslo \aleph_0 je nejmenším z řady typů nekonečných velikostí. Odtud pochází označení \aleph_0 prvním písmenem hebrejské abecedy (nejvyšší mohutnost, mohutnost třídy všech kardinálních čísel označil Georg Cantor posledním písmenem hebrejské abecedy ת (taf)).