Asymptota

Asymptota. Asymptotami funkce y = 1/x jsou osy x a y Asymptota (asymptotická přímka) určité křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od této křivky se limitně blíží k nule, když se jedna nebo obě souřadnice blíží nekonečnu. Asymptotický je vztah dvou veličin, které se k sobě limitně přibližují. Slovo je z řec. asymptótos, neshodný.

Definice

Mějme bod T rovinné křivky a přímku p. Označme vzdálenost bodu T od přímky jako \nu. +more Pokud alespoň jedna souřadnice bodu T roste nade všechny meze a současně \lim\nu=0, pak se přímka p nazývá asymptotou.

Asymptota grafu funkce

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

Asymptota se směrnicí

Přímka y = kx + q je asymptotou grafu funkce y=f(x) se směrnicí právě tehdy, jestliže platí: :\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-kx-q)=0.

Je-li rovnice asymptoty y = kx + q, potom platí: :k = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} :q =\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - kx)

Asymptota bez směrnice

Je-li funkce y=f(x) definovaná pro x \neq a \in \mathsf{R}, potom graf funkce f má asymptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v bodě a. Rovnice takové asymptoty je potom :x = a \,.

Asymptota kuželosečky

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný (vlastní) bod.

V projektivní geometrii platí, že asymptota je tečna v nevlastním bodě

Další asymptoty

Pokud lze rovnici křivky zapsat jako :y = ax+b+\mu(x), přičemž \lim_{x\to+\infty}\mu(x)=0, pak přímka y=ax+b je asymptotou dané křivky.

Platí-li pro křivku y=f(x) vztah \lim_{x\to\pm\infty}y=b, pak asymptotou křivky je přímka y=b.

Obdobně lze tvrdit, že pokud pro křivku x=g(y) platí \lim_{y\to\pm\infty}x=c, pak asymptotou křivky je přímka x=c.

Literatura

Ottův slovník naučný, heslo Asymptota. Sv. 2, str. 933

Související články

Průběh funkce * Asymptotický bod * Asymptotická křivka * Asymptotická složitost

Externí odkazy

Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Křivky