Butterworthův filtr

Butterworthův filtr je druh filtru pro zpracování signálu, který je navržený tak, aby jeho frekvenční odezva byla v propustném pásmu co nejplošší. Nazývá se také maximálně plochý filtr. Tento druh filtr navrhl a v roce 1930 popsal britský inženýr a fyzik Stephen Butterworth ve článku nazvaném On the Theory of Filter Amplifiers („K teorii zesilovačů s filtry“).

Původní článek

Butterworth si vydobyl reputaci řešením velmi komplikovaných matematických problémů, které byly považovány za 'neřešitelné'. Návrh filtrů v té době vyžadoval značné zkušenosti kvůli omezením tehdy používaných teorií. +more Tento druh filtru se více než 30 let po své publikaci příliš nepoužíval. Butterworth řekl:.

Takový ideální filtr není možné sestrojit, ale Butterworth ukázal, že přidáváním prvků správných hodnot do filtru lze dosáhnout stále bližšího přiblížení. Filtry v té době měly značné zvlnění v propustném pásmu, a volba hodnot součástek byl vysoce interaktivní. +more Butterworth ukázal, že lze navrhnout dolní propust, jejíž mezní frekvence byla normalizovaná na 1 radián za sekundu a jejíž frekvenční odezva (zisk) je.

:G(\omega) = {\frac{1} \sqrt{1+{\omega}^{2n}}},

kde \omega je úhlová frekvence v radiánech za sekundu a n je počet pólů filtru, který je roven počtu reaktivních prvků v pasivním filtru. Pokud \omega = 1, amplitudová odezva tohoto typu filtru v propustném pásmu je 1/\sqrt{2}\approx 0,707, což je poloviční výkon neboli pokles o −3 dB. +more Butterworth ve svém článku popsal pouze filtry se sudým počtem pólů. Pravděpodobně si nebyl vědom, že tyto filtry lze navrhnout s lichým počtem pólů. Své filtry vyšších řádů vytvořil z dvoupólových filtrů oddělených elektronkovým zesilovacím stupněm. Znázornění frekvenční odezvy 2, 4, 6, 8 a 10pólového filtru je zobrazeno křivkami A, B, C, D a E na grafu v jeho článku.

Butterworth vyřešil rovnice pro dvoupólové a čtyřpólové filtry a ukázal, jak by bylo možné kaskádovat čtyřpólové filtry oddělené elektronkovými zesilovacími stupni, a tak umožnil konstrukci filtrů vyššího řádu bez ohledu na ztráty cívek. V roce 1930 ještě nebyly materiály pro jádra cívek s nízkými ztrátami např. +more molypermalloy k dispozici, a audiocívky se vzduchovým jádrem byly dosti ztrátové. Butterworth objevil, jak je možné kompenzovat odpor vinutí cívek dalšími součástkami.

Butterworth používal cívky o průměru 31,75 mm a délce 76,1 mm se zásuvnými vývody. Přidružené kondenzátory a rezistory byly umístěny v kostřičce cívky. +more Odpor cívky tvořil část anodového zatěžovacího rezistoru. Pro každé dva póly byly použita jedna elektronka a mřížka následující elektronky byla navázána RC článkem.

Butterworth také ukázal, jak upravit základní zapojení dolní propusti, aby vznikla dolní propust, horní propust, pásmová propust nebo pásmová zádrž.

Úvod

Bodeho graf Butterworthovy dolní propusti prvního řádu

Frekvenční odezva Butterworthova filtru je maximálně plochá (tj. nemá žádné zvlnění) v propustném pásmu a v nepropustném pásmu se blíží k nule. +more Jak je vidět na logaritmickém Bodeho grafu, odezva lineárně klesá směrem k minus nekonečnu. Odezva filtru prvního řádu má pokles −6 dB na oktávu (−20 dB na dekádu) (všechny dolnopropustné filtry prvního řádu mají stejnou normalizovanou frekvenční odezvu). Filtr druhého řádu má pokles −12 dB na oktávu, třetího řádu −18 dB atd. Funkce magnitudy Butterworthových filtrů se mění monotonně s ω na rozdíl od jiných druhů filtrů, které v propustném nebo zádržném pásmu vykazují nemonotonní zvlnění.

V porovnání s Čebyševovými filtry typu I nebo typu II nebo s eliptickými filtry mají Butterworthovy filtry pomalejší pokles a pro dosažení stanovené hodnoty konečného útlumu tedy budou vyžadovat vyšší řád, mají však lineárnější fázovou odezvu v propustném pásmu, než jakou mohou poskytnout Čebyševovy filtry typu I a II i eliptické filtry.

Příklad

+more_O_Butterworthův_filtr_s_Mezní_frekvence'>mezní frekvencí \omega_c=1 se jedná, pokud (například) C_2=4/3 F, R_4=1 Ω, L_1=3/2 H a L_3=1/2 H. Jednoduchým příkladem Butterworthova filtru je dolní propust třetího řádu zobrazená na obrázku vpravo. Její přenosová funkce je.

:\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{R_4}{s^3(L_1 C_2 L_3) + s^2(L_1 C_2 R_4) + s(L_1 + L_3) + R_4},

s hodnotami součástek C_2 = 4/3 F, R_4 = 1 Ω, L_1 = 3/2 H, a L_3 = 1/2 H. Pokud impedance kondenzátorů C je 1/(Cs) a impedance cívek L je Ls, kde s= \sigma + j\omega je komplexní frekvence, obvodová rovnice dává přenosovou funkci tohoto obvodu: :H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+2s+2s^2+s^3}.

Řád frekvenční odezvy (zisk) G(\omega) je dán vzorcem :G(\omega)=|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^6}},

který vyplývá z :G^2(\omega)=|H(j\omega)|^2=H(j\omega)\cdot H^*(j\omega)=\frac{1}{1+\omega^6},

a fázi popisuje vzorec

:\Phi(\omega)=\arg(H(j\omega)).\!

Zisk a skupinové zpoždění Butterworthova filtru třetího řádu s \omega_c=1

Skupinové zpoždění je definováno jako derivace fáze podle úhlové frekvence a je mírou zkreslení signálu způsobeného fázovými rozdíly na různých frekvencích. Zisk a zpoždění tohoto filtru jsou vyneseny do grafu vlevo. +more Je vidět, že v křivce zisku není žádné zvlnění ani v propustném ani v potlačeném pásmu.

Logaritmus absolutní hodnoty přenosové funkce H(s) je vynesen do grafu v prostoru komplexních frekvencí ve druhém grafu vpravo. Funkce je definována třemi póly v levé polovině roviny komplexních frekvencí. +more póly leží v levé polorovině na kružnici s jednotkovým poloměrem. Póly jsou rozmístěny na kružnice o jednotkovém poloměru symetrické podle reálné osy s. Funkce zisku bude mít tři další póly v pravé polorovině pro dokončení kružnice.

Nahrazením každé cívky kondenzátorem a každého kondenzátoru cívkou získáme hornopropustný Butterworthův filtr.

Butterworthovu pásmovou propust získáme zapojením kondenzátoru sériově s každou cívkou a cívky paralelně s každým kondenzátorem pro vytvoření rezonančních obvodů. Hodnota každého nového prvku musí být zvolena tak, aby rezonovala s původním prvkem na příslušné frekvenci.

Butterworthovu pásmovou zádrž získáme zapojením kondenzátoru paralelně s každou cívkou a cívky sériově s každým kondenzátorem pro vytvoření rezonančních obvodů. Hodnota každého přidaného prvku musí být zvolena tak, aby rezonoval s původním prvkem na frekvenci, která má být potlačena.

Přenosová funkce

mezní frekvencí \omega_0 = 1. +more Z grafu je patrné, že sklon je 20n dB/dekádu kde n je řád filtru. .

Jako u všech filtrů je prototypickým filtrem dolní propust, kterou lze změnit na horní propust nebo rozšířit o další prvky pro vytvoření pásmové propusti nebo pásmové zádrže, nebo pro vytvoření vyšších řádů filtrů.

Zisk G(\omega) Butterworthovy dolní propusti n-tého řádu lze vyjádřit pomocí přenosové funkce H(s) jako :G^2(\omega)=\left |H(j\omega)\right|^2 = \frac {{G_0}^2}{1+\left(\frac{j\omega}{j\omega_c}\right)^{2n}}

kde n je řád filtru, \omega_c je mezní frekvence (frekvence pro pokles o přibližně −3 dB), a G_0 je stejnosměrný proudový zisk (zisk při nulové frekvenci).

Je vidět, že když se n blíží k nekonečnu, průběh zisku se blíží k obdélníkové funkci a frekvence pod \omega_c bude přenášené se ziskem G_0, zatímco frekvence nad \omega_c budou potlačené. Pro menší hodnoty n, budou meze méně ostré.

Chceme určit přenosovou funkci H(s), kde s=\sigma+j\omega (z Laplaceovy transformace). Protože \left|H(s)\right|^2 = H(s)\overline{H(s)}, a díky obecné vlastnosti H(-j\omega) = \overline{H(j\omega)} Laplaceovy transformace v s=j\omega, pokud vybereme H(s) takové, že:

:H(s)H(-s) = \frac {{G_0}^2}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n},

pak, s s=j\omega, dostáváme frekvenční odezvu Butterworthova filtru.

Celkem n pólů tohoto výrazu se objeví na kružnici o poloměru \omega_c ve stejně vzdálených bodech symetrických okolo záporné reálné osy. Kvůli stabilitě je přenosová funkce H(s) zvolena tak, že obsahuje pouze póly v záporné reálné polorovině s. +more Pro k-tý pól platí.

:-\frac{s_k^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}} \qquad k = 1,2,3,\ldots, n

a tedy

:s_k = \omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquad k = 1,2,3,\ldots, n.

Přenosovou (nebo systémovou) funkci lze zapsat pomocí těchto pólů jako

:H(s)=G_0\prod_{k=1}^n \frac{\omega_c}{s-s_k}=G_0\prod_{k=1}^n \frac{\omega_c}{s-\omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}}.

kde \textstyle{\prod} je operátor součinu posloupnosti. Jmenovatel je Butterworthův polynom v s.

Normalizované Butterworthovy polynomy

Butterworthovy polynomy je možné zapsat v komplexním tvaru, jak je uvedeno výše, ale obvykle se zapisují s reálnými koeficienty násobenými dvojicemi pólů, které jsou komplexní sdružené, např. s_1 a s_n. +more Díky \omega_c=1 jsou polynomy normalizované. Normalizované Butterworthovy polynomy pak mají obecně tvar součinu.

:B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right] \qquad \text{pro}\,n\,\text{sudé} :B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[ s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right] \qquad \text{pro}\,n\,\text{liché}.

Faktory Butterworthových polynomů řádu 1 až 10 jsou uvedené v následující tabulce (na šest platných míst):

{
n	Faktory Butterworthových polynomů B_n(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

|}

Přesné hodnoty faktorů Butterworthových polynomů řádu 1 až 6 jsou uvedeny v následující tabulce:

{
n	Faktory Butterworthových polynomů B_n(s)
1
2
3
4
5
6

|}

kde řecké písmeno phi (\varphi nebo \phi) reprezentuje hodnotu zlatého řezu. Je to iracionální číslo, které je řešením kvadratické rovnice x^2 - x - 1 = 0, s hodnotou

:\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} = 1,618033988749...

n-tý Butterworthův polynom je také možné zapsat jako sumu

:B_n(s)=\sum_{k=0}^n a_k s^k\,

s koeficienty a_k danými rekurentním vzorcem

:\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\cos(k\gamma)}{\sin((k+1)\gamma)}

a součinovým vzorcem

:a_k=\prod_{\mu=1}^k\frac{\cos((\mu-1)\gamma)}{\sin(\mu\gamma)}\,

kde

:a_0=1\qquad \text{a}\qquad\gamma=\frac{\pi}{2n}\,.

Dále a_k=a_{n-k}. Zaokrouhlené koeficienty a_k pro prvních 10 Butterworthových polynomů B_n(s) jsou:

n	a_0	a_1	a_2	a_3	a_4	a_5	a_6	a_7	a_8	a_9	a_{10}
1	1	1
2	1	1,4142	1
3	1	2	2	1
4	1	2,6131	3,4142	2,6131	1
5	1	3,2361	5,2361	5,2361	3,2361	1
6	1	3,8637	7,4641	9,1416	7,4641	3,8637	1
7	1	4,4940	10,0978	14,5918	14,5918	10,0978	4,4940	1
8	1	5,1258	13,1371	21,8462	25,6884	21,8462	13,1371	5,1258	1
9	1	5,7588	16,5817	31,1634	41,9864	41,9864	31,1634	16,5817	5,7588	1
10	1	6,3925	20,4317	42,8021	64,8824	74,2334	64,8824	42,8021	20,4317	6,3925	1

Pro určení přenosové funkce pro libovolnou mezní frekvenci dolní propusti \omega_c lze použít normalizované Butterworthovy polynomy, z čehož plyne

:H(s) = \frac{G_0}{B_n(a)} , kde a = \frac{s}{\omega_c}.

Transformace na jiné druhy filtrů jsou také možné, viz prototypický filtr.

Maximální plochost

Za předpokladu, že \omega_c=1 a G_0=1, lze ukázat, že derivace zisku podle frekvence je

:\frac{dG}{d\omega}=-nG^3\omega^{2n-1}

které monotonně klesají pro všechna \omega, protože zisk G je vždy kladný. Funkce zisku Butterworthova filtru proto nemá žádné zvlnění. +more Řada rozšíření zisku popisuje vztah.

:G(\omega)=1 - \frac{1}{2}\omega^{2n}+\frac{3}{8}\omega^{4n}+\ldots

Jinými slovy všechny derivace zisku menší než 2n-tá jsou v \omega=0 nulové, důsledkem čeho je „maximální plochost“. Pokud požadavek na monotonii omezíme na propustné pásmo, zatímco zádržném pásmu je zvlnění možné, pak je možné navrhnout filtr stejného řádu, např. +more inverzní Čebyševův filtr, které je v propustném pásmu plošší než „maximálně plochý“ Butterworthův filtr.

Strmost poklesu při vysokých frekvencích

Opět předpokládáme, že \omega_c=1, sklon logaritmu zisku pro velké \omega je

:\lim_{\omega\rightarrow\infty}\frac{d\log(G)}{d\log(\omega)}=-n.

V decibelech, strmost poklesu při vysokých frekvencích je proto 20n dB/dekádu nebo 6n dB/oktávu (faktor 20 se používá, protože výkon je úměrný druhé mocnině napěťového zisku; viz 20 log pravidlo.)

Nestandardní mezní zeslabení

Mezní zeslabení pro Butterworthovy filtry se uvažuje −3,01 dB. Pokud je požadováno jiné zeslabení na mezní frekvenci, pak může být na každý pól aplikován dále uvedený faktor; póly budou stále ležet na kružnici, ale její poloměr už nebude jednotkový:

p_A = p_1 \times (10^{-A_{dB}/10}-1)^{{-1}/{2n}}

kde:

p_A je pól přemístěný pro úpravu požadovaného mezního zeslabení.

p_1 je −3,01 dB mezní pól, který leží na jednotkové kružnici.

A_{dB} je požadovaný útlum na mezní frekvenci v dB (−1 dB, −10 dB, atd.)

n je počet pólů (řád filtru).

Implementace a návrh filtrů

Existuje několik různých topologií filtrů, které lze implementovat lineárními analogovými filtry. Nejpoužívanější topologií pro pasivní realizaci je Cauerova topologie, zatímco pro aktivní realizaci je nejpoužívanější topologií Sallenova-Keyova.

Cauerova topologie

Cauerovou topologií

Cauerova topologie implementuje lineární analogový filtr pasivními součástkami (bočníkovými kondenzátory a sériovými cívkami). Butterworthův filtr s danou přenosovou funkcí lze realizovat pomocí Cauerovy 1-formy. +more k-tý prvek popisuje vztah.

:C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad \text{pro}\,k\,\text{liché}

:L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad \text{pro}\,k\,\text{sudé}.

Pokud je třeba, může filtr začínat sériovou cívkou. Pak bude Lk pro liché k a Ck pro sudé k. +more Tyto vzorce lze vhodně zkombinovat tak, že jak Lk tak Ck bude rovno gk. Tj. gk je imitance dělená s.

:g_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad k = 1,2,3, \ldots, n.

Tyto vzorce platí pro dvojitě zakončený filtr (tj. impedance zdroje i zátěže jsou rovny jedné) s ωc = 1. +more Tento prototypický filtr lze upravovat pro jiné impedance a frekvence. Pro jednoduše ukončený filtr (tj. buzený ideálním zdrojem napětí nebo proudu) jsou hodnoty prvků.

:g_j = \frac{a_j a_{j-1}}{c_{j-1} g_{j-1}}\qquad j = 2,3, \ldots, n

kde

:g_1 = a_1

a

:a_j = \sin \left [\frac {(2j-1)}{2n} \pi \right ]\qquad j = 1,2,3, \ldots, n :c_j = \cos^2 \left [\frac{j}{2n} \pi \right ]\qquad j = 1,2,3, \ldots, n.

Napětím buzené filtry musí začínat sériovým prvkem, zatímco proudem buzené filtry musí začínat bočníkovým prvkem. Tyto tvary jsou užitečné při návrhu diplexerů a multiplexerů.

Sallenova-Keyova topologie

Sallenova-Keyova topologie

Sallenova-Keyova topologie používá pro implementaci lineárního analogového filtru pasivní i aktivní součástky (rezistory, kondenzátory a neinvertující vyrovnávací zesilovače, zpravidla operační zesilovače). Každý Sallenův-Keyův stupeň implementuje konjugovaný pár pólů; kompletní filtr je implementován sériovým propojením všech stupňů. +more Pokud existuje reálný pól (pokud je n liché), musí být implementován odděleně, obvykle jako RC článek, a kaskádovaný s aktivním stupněm.

Přenosovou funkci Sallenova-Keyova obvodu druhého řádu znázorněného vpravo popisuje vzorec

:H(s) = \frac{V_\text{out}(s)}{V_\text{in}(s)} = \frac{1}{1 + C_2(R_1+R_2)s + C_1 C_2 R_1 R_2 s^2}.

Chceme, aby jmenovatel byl jedním z kvadratických členů v Butterworthově polynomu. Předpokládáme, že \omega_c = 1, což znamená, že

:C_1C_2R_1R_2=1\,

a

:C_2(R_1+R_2)=-2\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n} \pi\right).

Hodnoty dvou součástek zůstávají nedefinované a lze je libovolně zvolit.

Huelsmanam popsal Butterworthovy dolnopropustné filtry se Sallenovou-Keyovou topologií třetího a čtvrtáho řádu, které používají pouze jeden operační zesilovač, a další jediný-zesilovač Butterworthovy filtry také vyššího řádu popsal Jurišić et al.

Digitální implementace

Digitální implementace Butterworthových a jiných filtrů často vycházejí z metody bilineární transformace nebo metody přizpůsobené Z-transformace, což jsou dvě různé metody na diskretizaci návrhu analogového filtru. V případě všepólových filtrů např. +more Butterworthova, je metoda přizpůsobené Z-transformace ekvivalentní s metodou impulzní invariance. Digitální filtry vyšších řádů jsou citlivé na kvantizační chyby, proto se často počítají jako kaskádovaný digitální biquad filtr plus jedna část prvního nebo třetího řádu pro liché řády.

Porovnání s jinými lineárními filtry

Vlastnosti Butterworthových filtrů jsou: * Monotonní amplituda odezva v propustném i potlačeném pásmu * Rychlý pokles okolo mezní frekvence, který se zlepšuje s rostoucím řádem * Významný překmit a vyzvánění při krokové odezvě, které se zhoršují s rostoucím řádem * Nepatrně nelineární fázová odezva * Skupinové zpoždění z větší části závislé na frekvenci

Následující obrázky srovnávají frekvenční průběh Butterworthova filtru s diskrétním časem s dalšími běžnými druhy filtrů. Všechny filtry jsou pátého řádu.

vpravo

Butterworthův filtr má méně strmý pokles v okolí mezní frekvence než Čebyševův filtr nebo eliptický filtr, ale nemá žádné zvlnění.

Odkazy

Reference

Související články

Besselův filtr * Čebyševův filtr * Hřebenový filtr * Eliptický filtr * Návrh filtrů

Kategorie:Lineární filtry Kategorie:Návrh obvodů