Greenova věta

Technology

12 hours ago

Author

Greenova věta je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v rovině přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Stokesovy věty. Autorem Greenovy věty je George Green.

Znění věty

Je-li \mathbf{F}(x,y)=[F_x(x,y),F_y(x,y)] vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na jednoduše souvislé ploše S ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou C, pak platí:

:\oint_C (F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y) = \iint_S (\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}) \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y.

Výpočet obsahu

Greenovu větu je možno využít k výpočtu obsahu plochy v rovině. Zvolme funkce F_x a F_y tak, že platí \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = 1, potom je obsah (míra) oblasti D ohraničené hranicí C dán vztahem:

:S = \tfrac 12 \oint_{C} (-y\, dx + x\, dy) = \iint_S \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y, neboť (viz volba výše):

:\partial F_y \, \partial y - \partial F_x \, \partial x \ = \ \partial x \ \partial y \ = \ \tfrac 12 \, \partial x \ \partial y + \tfrac 12 \, \partial y \ \partial x, tj.:

:\partial F_y = \tfrac 12 \partial x \ a \ \partial F_x = -\tfrac 12 \partial y, z čehož plyne: F_y = \tfrac 12 x \ a \ F_x = -\tfrac 12 y.