Hamiltonovská formulace mechaniky

Technology

12 hours ago

Author

Hamiltonovská formulace mechaniky (někdy též hamiltonovská mechanika) představuje jiný přístup k popisu mechaniky než jaký využívají Newtonovy pohybové rovnice. Newtonovy pohybové rovnice sice umožňují úplně popsat mechanický pohyb, z matematického hlediska se však ukazuje, že lze zvolit jiný přístup k popisu tohoto pohybu, který bývá v mnoha případech výhodnější. Hamiltonovská formulace mechaniky je obecnější než lagrangeovská formulace, z níž původně vycházela.

Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást teoretické mechaniky a objevil ji v roce 1833 William Rowan Hamilton. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve statistické fyzice, ale především při přechodu ke kvantové mechanice.

V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají zobecněné souřadnice a zobecněné hybnosti, přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné proměnné ve fázovém prostoru.

Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných transformací přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové transformace se označují jako kanonické a je při nich požadováno, aby si Hamiltonovy rovnice zachovávaly svůj tvar. +more Invariantem kanonických transformací je tzv. Poissonova závorka.

Hamiltonovy rovnice

Diferenciací Hamiltonovy funkce dostaneme :\mathrm{d}H = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\mathrm{d}q_i + \frac{\partial H}{\partial p_j}\mathrm{d}p_j \right) + \frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t = ::= \sum_i \left( \dot{q}_i\mathrm{d}p_i + p_i\mathrm{d}\dot{q}_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\mathrm{d}q_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\mathrm{d}\dot{q}_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left( \dot{q}_i\mathrm{d}p_i - \dot{p}_i\mathrm{d}q_i \right) - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t, kde L je Lagrangeova funkce, q_i jsou zobecněné souřadnice a p_i jsou zobecněné hybnosti. Srovnáním jednotlivých koeficientů v tomto vztahu dostaneme výrazy :{\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)}_{p,q} = -{\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)}_{q,\dot{q}} :\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} :\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} Tyto rovnice tvoří pro mechanický systém s n stupni volnosti soustavu 2n diferenciálních rovnic prvního řádu pro 2n neznámých funkcí času q_i(t), p_i(t), i = 1, 2, . +more, n. Tyto rovnice jsou nižšího řádu než Lagrangeovy rovnice a jejich pravé strany nezávisí na derivacích hledaných funkcí. Tyto rovnice se nazývají Hamiltonovými (kanonickými) rovnicemi daného systému.

Příklad

Příkladem Hamiltonových rovnic jsou rovnice pro jednorozměrný pohyb volné částice (hmotného bodu).

Z lagrangiánu L=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\dot{q}^2 vyplývá zobecněná hybnost p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{1}{2}m\cdot 2\dot{q}=m\dot{q}=mv, odtud \dot{q}=\frac{p}{m}.

Dosazením do definice hamiltoniánu: :H = p\dot{q} - L = \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2}m\dot{q}^2 = \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2}m\frac{p^2}{m^2}=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m} = \frac{p^2}{2m}.

Dosazením do Hamiltonových kanonických rovnic: :\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} a :\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = 0.

To znamená, že rychlost částice (v, neboli \dot{q}) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.