Cesko.wiki Infimum
Author
Albert FloresInfimum je v matematice označení pro nejmenší dolní závora množiny. Je definován jako největší prvek mezi všemi dolními závorami dané množiny. Infimum je tedy hranice, pod kterou se nemůže množina dostat. V článku je nejprve popsána definice infima a způsoby jeho vyjádření. Dále je vysvětleno, jak se infimum chová v různých třídách množin, například v omezených množinách, v množinách s horní a dolní hranicí nebo v nekonečných množinách. V další části článku je diskutováno použití infima v různých oblastech matematiky, jako jsou analýza, teorie množin nebo teorie uspořádání. Některé konkrétní příklady, jak se infimum využívá v těchto oblastech, jsou také popsány. Další část článku se zabývá vlastnostmi infima a jeho vztahy k dalším matematickým pojmům, například k supremu, limitě nebo derivaci. Jsou zde také diskutovány různé vlastnosti infima, jako je jednoznačnost, volitelnost nebo existenci. Na konci článku jsou uvedeny další informace a odkazy na další zdroje, které se zabývají infimem a jeho využitím v matematice.
Infimum (někdy též průsek) je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který je často používán především při zkoumání vlastností reálných čísel. Infimum je zaváděno jako alternativa k pojmu nejmenší prvek, oproti nejmenšímu prvku je však dohledatelné u více množin - například omezené otevřené intervaly reálných čísel nemají nejmenší prvek, ale mají infimum.
Duálním pojmem (opakem) infima je supremum.
Obecná definice
Předpokládejme, že množina X \,\. je uspořádána relací R \,\. +more . O prvku a \isin X \,\. řekneme, že je infimum podmnožiny Y \subseteq X \,\. , pokud je to největší prvek množiny všech dolních závor množiny Y \,\. . Tuto skutečnost značíme.
a = \operatorname{inf}_R(Y) \,\!
Infimum v množině reálných čísel
Infimum má každá zdola omezená množina, přestože ne každá má minimum (nejmenší prvek). Například otevřený interval I = (a,b) \,\. +more minimum nemá (pro každé c \in I \,\. můžeme nalézt d:c > d > a \,\. ), ovšem jeho infimem je právě a \,\. (jde o dolní závoru a jakékoliv větší číslo již dolní závorou není - lze argumentovat podobně jako u minima).
Zdola neomezené množiny infimum nemají. Například otevřený interval I = (-\infty,a) \,\! nemá infimum v množině \mathbb{R} \,\! všech reálných čísel.
Pokud má množina minimum M \,\! má i infimum K \,\!, pro které platí, že K = M \,\!.
Obecné vlastnosti a další příklady
Vztah infima a nejmenšího prvku
Nejen na množině reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je infimum zobecněním pojmu nejmenšího prvku. Pokud má množina nejmenší prvek, je tento nejmenší prvek zároveň jejím infimem. +more Naopak to však platit nemusí - prvním takovým příkladem je výše uvedený zdola omezený otevřený interval na množině reálných čísel.
Pokud infimum existuje, pak je určeno jednoznačně - množina nemůže mít dvě různá infima. To je dáno tím, že největší prvek (tedy i největší prvek množiny dolních závor - infimum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen.
Infimum podle dělitelnosti
Uvažujme o množině \mathbb{Z}^+ \,\. všech kladných celých čísel a relaci R \,\. +more danou vztahem a \leq_R b \Leftrightarrow a \mid b \,\. (tj. číslo a \,\. je menší nebo rovné číslu b \,\. podle R \,\. , pokud číslo a \,\. dělí číslo b \,\. ).
Každá konečná podmnožina \mathbb{Z}^+ \,\. má infimum - infimem je v tomto případě největší společný dělitel. +more Zdaleka ne každá množina má ale nejmenší prvek - například \{ 4,6,8 \} \subseteq \mathbb{Z}^+ \,\. nemá nejmenší prvek, protože neplatí ani 4 \leq_R 6 \,\. , ani 6 \leq_R 4 \,\. . Přitom ale \operatorname{inf}_R \{ 4,6,8 \} = 2 \,\. .
Infimum na množině racionálních čísel
Jak již bylo uvedeno výše, má každá zdola omezená množina reálných čísel infimum. Zdálo by se, že množina \mathbb{Q} \,\. +more racionálních čísel je množině reálných čísel hodně podobná - je také hustě uspořádaná podle velikosti. Přesto ale existují zdola omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) infimum.
Příkladem takové množiny je
: \{ x \isin \mathbb{Q} : x^2 > 2 \;\land\; x > 0 \} \,\!
Lze poměrně snadno ověřit, že v množině \mathbb{Q} \,\. nemá tato množina infimum. +more Pokud bychom uvažovali o infimu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe - infimem by byla odmocnina ze dvou.
Odkazy
Související články
Supremum * Nejmenší prvek * Minimální prvek * Dedekindův řez