Cesko.wiki Supremum
Author
Albert FloresSupremum je matematický pojem, který se používá v oboru reálné analýzy, teorie uspořádání a funkcionální analýzy. Označuje nejmenší horní mez množiny, tedy takové číslo, které je větší nebo rovno všem prvkům dané množiny. Formálně se hovoří o supremu množiny A, pokud existuje takové reálné číslo b, které je horní mezí množiny A, a zároveň je menší nebo rovno všem horním mezím této množiny. Pojem supremum je důležitý pro definici limit, spojitosti funkcí a řady. Supremum je také úzce spojené s pojmem infimum, který označuje největší dolní mez množiny. Spolu tvoří tzv. úplné uspořádání reálné číselné osy. V článku je nejprve stručně popsán pojem supremum a jeho vlastnosti. Dále jsou zmíněny příklady aplikací tohoto pojmu v matematice. Poté jsou diskutovány některé základní věty, které se týkají suprem a infim, například Weierstrassova věta a Bolzanova–Cauchyova věta. Nakonec je pojednáno o některých zobecněních pojmu supremum pro místo reálných čísel používající se například v teorii uspořádání.
Supremum (někdy též spojení) je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který je často používán především při zkoumání vlastností reálných čísel. Supremum je zaváděno jako alternativa k pojmu největší prvek, oproti největšímu prvku je však dohledatelné u více množin - například omezené otevřené intervaly reálných čísel nemají největší prvek, ale mají supremum.
Duálním pojmem (opakem) suprema je infimum.
Obecná definice
Předpokládejme, že množina X je uspořádána relací R. O prvku a \isin X řekneme, že je supremum podmnožiny Y \subseteq X, pokud je to nejmenší prvek množiny všech horních závor množiny Y. +more Tuto skutečnost značíme :a = \sup_R(Y).
Supremum v množině reálných čísel
Supremum má každá shora omezená množina, přestože ne každá má maximum (největší prvek). Například otevřený interval I = (a,b) maximum nemá (pro každé c \in I můžeme nalézt d:c ), ovšem jeho supremem je právě b (jde o nejmenší horní závoru a jakékoliv větší číslo již nejmenší horní závorou není - lze argumentovat podobně jako u maxima).
Shora neomezené množiny supremum nemají. Například otevřený interval I = (a, +\infty) nemá supremum v množině \mathbb{R} všech reálných čísel.
Pokud má množina maximum M má i supremum K, pro které platí, že K = M.
Obecné vlastnosti a další příklady
Vztah suprema a největšího prvku
Nejen na množině reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je supremum zobecněním pojmu největšího prvku. Pokud má množina největší prvek, je tento největší prvek zároveň jejím supremem. +more Naopak to však platit nemusí - prvním takovým příkladem je výše uvedený shora omezený otevřený interval na množině reálných čísel.
Pokud supremum existuje, pak je určeno jednoznačně - množina nemůže mít dvě různá suprema. To je dáno tím, že nejmenší prvek (tedy i nejmenší prvek množiny horních závor - supremum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen.
Supremum podle dělitelnosti
Uvažujme o množině \mathbb{Z}^+ všech kladných celých čísel a relaci R danou vztahem a \leq_R b \Leftrightarrow a | b (tj. číslo a je menší nebo rovné číslu b podle R, pokud číslo a dělí číslo b).
Každá konečná podmnožina \mathbb{Z}^+ má supremum. Supremem je v tomto případě nejmenší společný násobek. +more Zdaleka ne každá množina má ale největší prvek, například \{ 4,6,8 \} \subseteq \mathbb{Z}^+ nemá největší prvek, protože neplatí ani 6 \leq_R 8, ani 8 \leq_R 6. Přitom ale \sup_R \{ 4,6,8 \} = 24.
Supremum na množině racionálních čísel
Jak již bylo uvedeno výše, má každá shora omezená množina reálných čísel supremum. Zdálo by se, že množina \mathbb{Q} racionálních čísel je množině reálných čísel hodně podobná - je také hustě uspořádaná podle velikosti. +more Přesto ale existují shora omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) supremum.
Příkladem takové množiny je : \{ x \isin \mathbb{Q} : x^2 . Dá se poměrně snadno ověřit, že v množině \mathbb{Q} nemá tato množina supremum. +more Pokud bychom uvažovali o supremu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe - supremem by byla odmocnina ze dvou.
Supremum na ordinálních číslech
Uvažujme o třídě \mathbb{O}n všech ordinálních čísel. Ordinální čísla jsou dobře uspořádána - to znamená, že každá podmnožina má nejmenší prvek a tím pádem i infimum. +more Zajímavější a na první pohled ne tak zjevné je, že každá shora omezená podtřída třídy \mathbb{O}n (shora omezená třída ordinálních čísel je vždy množina) má supremum, ale nemusí mít největší prvek.
Například množina konečných ordinálních čísel \{ 0,1,2,\ldots \} nemá největší prvek, ale platí: : \sup \{ 0,1,2,\ldots \} = \omega.
Esenciální supremum
Mějme prostor s mírou \scriptstyle (X, \Sigma, \mu) a \scriptstyle \mu-měřitelnou reálnou funkci \scriptstyle f na \scriptstyle X, tj. \scriptstyle f: X \to \mathbb{R}. +more Esenciální supremum funkce \scriptstyle f na množině \scriptstyle X pak značíme \scriptstyle \text{ess sup}_X f a definujeme vztahem : \text{ess sup}_X f = \inf \{ C \in \mathbb{R} | f(x) \leq C \ \text{pro} \ \mu\text{-skoro všechna } x \in X \}. Esenciální supremum je tedy infimum ze všech čísel \scriptstyle c takových, pro něž když vezmeme množinu všech \scriptstyle x \in X, v nichž nabývá funkce \scriptstyle f hodnoty větší než \scriptstyle c, tak tato množina bude míry nula (podle míry \scriptstyle \mu).
Související články
Infimum * Největší prvek * Maximální prvek * Dedekindův řez * Svaz (matematika) * Reálná čísla * Ordinální čísla