Klasifikace jednoduchých konečných grup

Klasifikace jednoduchých konečných grup je matematické tvrzení. Říká, že každá jednoduchá grupa, která má konečný počet prvků, je izomorfní buď jedné z 18 sérií grup, anebo jedné z 26 sporadických grup. Všechny tyto grupy jsou explicitně popsány a věta o klasifikaci tvrdí, že žádná jiná konečná jednoduchá grupa neexistuje. Kvůli ohromné náročnosti jejího důkazu bývá v angličtině také nazývána „Enormous theorem“.

Historie důkazu

Odvození a důkaz klasifikace byl jedním z nejrozsáhlejších projektů dějin matematiky. Původně se skládal z více než 500 odborných článků a asi 15 tisíc stran tištěného textu. +more Účastnilo se jej mezi léty 1920 a 1980 aktivně více než 100 matematiků. Protože části důkazů byly prověřovány pomocí počítačů, existují o korektnosti důkazů u některých matematiků pořád pochybnosti. Po dokončení důkazu kolem 1980 započali vedoucí matematici oboru jako Michael Aschbacher a Daniel Gorenstein program na zjednodušení důkazu, podrobnou dokumentaci a doplnění sporných nebo chybějících částí. U toho objevili mezery, které se většinou daly bez větších komplikací doplnit. Jedna mezera však byla obtížnější a zaplněna byla až roku 2002 (Aschbacher, Smith: The classification of quasithin groups, AMS).

Seznam konečných jednoduchých grup

Nekonečné série

Cyklické grupy prvočíselného řádu

Cyklické grupy \Z_p pro p prvočíslo jsou jediné příklady jednoduchých konečných Abelových grup.

Alternující grupy

Alternující grupa A_n je grupa všech sudých permutací n-prvkové množiny. Jsou jednoduché pro n>4. +more Grupa A_5 má 60 prvků a je nejmenší nekomutativní jednoduchou grupou.

Grupy Lieova typu

Další jednoduché konečné grupy jsou tvořeny grupami Lieova typu, anebo též Chevalleyho grupami, což jsou lineární algebraické grupy nad nějakým konečným tělesem. Zbylých 16 sérií jednoduchých konečných grup je tvořeno grupami Lieova typu.

Pro konečné těleso řádu q=p^n je speciální projektivní grupa (resp. projektivní speciální lineární grupa) A_n(q) definována jako grupa matic dimenze n+1 s determinantem rovným jedné nad tímto tělesem, z které se odfaktoruje její centrum (tvořeno násobky jednotkové matice). +more Tato série grup má tedy parametry q (mocnina prvočísla) a n (přirozené číslo). Všechny tyto grupy jsou jednoduché kromě A_1(2) a A_1(3). Alternativní značení je PSL(n,q).

Další série B_n(q) resp. D_n(q) jsou tvořeny ortogonálními maticemi dimenze 2n+1 resp. +more 2n které mají determinant a spinorovou normu rovnu jedné. Kromě grupy B_2(2) jsou všechny jednoduché. Série C_n(q) pozůstává se symplektických grup, z kterých se odfaktoruje centrum. Všechny grupy C_n(q) jsou jednoduché.

Dalších 5 sérií jsou analogie výjimečných Lieových grup. Jsou však definovány nad každým konečným tělesem, proto se jedná o série, indexované číslem q=p^n. +more Značí se E_6(q), E_7(q), E_8(q), F_4(q), G_2(q) a kromě G_2(2) jsou všechny jednoduché.

Další 4 série tvoří tzv. Steinbergovy grupy. +more První z nich je analogie unitárních grup. Existence a konstrukce Steinbergových grup souvisí se symetriemi Dynkinových diagramů grup A_n, D_n a E_6, které definují vnější automorfismy těchto grup. Steinbergovy grupy se dají definovat jako pevné body složení akce těchto vnějších automorfizmů a jistého automorfizmu příslušného tělesa. Série se značí ^2 A_n(q^2), ^2 D_n(q^2), ^2 E_6(q^2), ^3 D_4(q^2).

Další série jsou tzv. Suzukiho grupy ^2B_2(2^{2n+1}), jejichž existence a konstrukce souvisí s existencí speciálního automorfismu těles charakteristiky 2, jehož druhá mocnina je Frobeniův automorfizmus. +more Podobně se nad speciálními tělesy charakteristiky 2 a 3 definují i Reeovy grupy ^2 F_4(2^{2n+1}) a ^2 G_2(3^{2n+1}).

Sporadické grupy

Pět sporadických grup bylo objeveno Mathiem kolem roku 1860 a zbylých 21 mezi léty 1965 a 1975. Většina z nich se jmenuje po matematicích, kteří jako první předpověděli jejich existenci. +more Seznam jmen těchto grup je:.

* Mathiovy grupy M11, M12, M22, M23, M24 * Jankovy grupy J1, J2 resp. HJ, J3 resp. +more HJM, J4 * Conwayovy grupy Co1 resp. F2−, Co2, Co3 * Fischerovy grupy Fi22, Fi23, Fi24′ resp. F3+ * Higman-Simsova grupa HS * McLaughlinova grupa McL * Heldova grupa He resp. F7+ resp. F7 * Rudvalisova grupa Ru * Suzukiho sporadická grupa Suz, resp. F3− * O'Nanova grupa O'N * Harada-Nortonova grupa HN resp. F5+ resp. F5 * Lyonsova grupa Ly * Thompsonova grupa Th resp. F3|3 resp. F3 * Malá monstergrupa (Baby Monster group) B resp. F2+ resp. F2 * Fischer-Griessova monstergrupa M, resp. F1.

Odkazy

Reference

Michael Aschbacher (2004) "[url=http://www. ams. +moreorg/notices/200407/fea-aschbacher. pdf]The Status of the Classification of the Finite Simple Groups,[/url]" Notices of the American Mathematical Society. * * * * Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104-115. * * * * * * * * Mark Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006. (Stručný úvod) * Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, (another introduction for the lay reader) * Ron Solomon (1995) "[url=http://www. ams. org/notices/199502/solomon. pdf]On Finite Simple Groups and their Classification,[/url]" Notices of the American Mathematical Society.

Externí odkazy

Elwes, Richard, "[url=http://plus. maths. +moreorg/issue41/features/elwes/index. html]An enormous theorem: the classification of finite simple groups,[/url]" Plus Magazine, číslo 41, December 2006. * Madore, David (2003) [url=http://www. eleves. ens. fr:8080/home/madore/math/simplegroups. html]Orders of nonabelian simple groups. [/url] Obsahuje seznam všech neabelovských jednoduchých grup do řádu 1010. * [url=http://mathworld. wolfram. com/ClassificationTheoremofFiniteGroups. html]Klasifikační věta na mathworld[/url].

Kategorie:Konečné grupy