Komutativní těleso

Technology

12 hours ago

Author

Komutativní těleso (někdy stručně těleso podle německého , někdy též pole z anglického ) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace, sčítání a násobení, pro které platí řada určených vlastností. Jedná se o taková tělesa, kde násobení splňuje navíc komutativitu, respektive takové komutativní okruhy, kde navíc existuje inverzní prvek pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Tělesa, ve kterých násobení není komutativní, se nazývají nekomutativní tělesa.

Definice komutativního tělesa

Trojici (\mathcal{T},+,\cdot), kde \mathcal{T} je množina a + (sčítání) a \cdot (násobení) jsou binární operace, nazveme komutativním tělesem, je-li (\mathcal{T}, +, \cdot) okruh a platí-li navíc * pro každé x \in \mathcal{T} \setminus \{ 0 \} existuje y \in \mathcal{T} tak, že x \cdot y = y \cdot x = 1, což značíme y = x^{-1} (existence inverzního prvku k násobení), a * pro každé x,y \in \mathcal{T} platí x \cdot y = y \cdot x (komutativita násobení).

Tělesa s přídavnou strukturou

Vzhledem k tomu, že tělesa jsou v matematice všudypřítomná, jsou uvažována některá vylepšení konceptu tělesa pro přizpůsobení potřebám konkrétních matematických oblastí.

Topologické těleso

Těleso se nazývá topologické, když množina je topologickým prostorem, v kterém všechny operace tělesa (sčítání, násobení, zobrazení a ) jsou spojitá zobrazení vzhledem k uvažované topologii.

Topologie těles obvykle bývá indukována metrikou, tj. funkcí : která měří vzdálenosti mezi libovolnými body . +more Topologická tělesa jsou speciálním případem topologických okruhů.