Cesko.wiki Kvadratický průměr
Author
Albert FloresKvadratický průměr je statistická veličina představující druhou odmocninu aritmetického průměru druhých mocnin daných hodnot.
Výpočet
Matematický zápis výpočtu je následující (n představuje počet hodnot, x_i jsou jednotlivé hodnoty):
: K= \sqrt {\bar {x^2}} = \sqrt {{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt {{X_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n}
V případě spojité funkce f(t) lze vypočítat kvadratický průměr neboli střední kvadratickou hodnotu v určitém intervalu pomocí integrálu:
: K = f_{ef} = \sqrt{\bar {f^2}} = \sqrt{ \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} {f^2(t) \, \mathrm{d}t} }
Vlastnosti
Kvadratický průměr je vždy nezáporný a větší nebo roven aritmetickému průměru. Rovnost nastává, právě když jsou všechny průměrované hodnoty stejné a nezáporné. +more To je důsledkem Cauchyho-Schwarzovy-Buňakovského nerovnosti pro skalární součin.
Umocnění hodnot na druhou má za následek větší váhu hodnot vzdálenějších od nuly. Vzdáleně to připomíná výpočet váženého průměru.
Použití
Diskrétní verze kvadratického průměru se používá například při výpočtu střední kvadratické odchylky, ta je kvadratickým průměrem odchylek.
Spojitý kvadratický průměr - střední kvadratická hodnota se používá rovněž ve statistice nebo fyzice, např. při výpočtu střední kvadratické rychlosti molekul plynu nebo při výpočtu efektivní hodnoty střídavého napětí nebo střídavého proudu.