Model (logika)

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice

Model jazyka

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly c_\alpha; \alpha\in I_K, funkční symboly \,f_\alpha četností n_\alpha; \alpha\in I_F a predikátové symboly \,p_\alpha četností n_\alpha; \alpha\in I_P, je množina A nazývaná nosič struktury spolu s konstantami C_\alpha\in A; \alpha\in I_K, funkcemi F_\alpha :A^{n_\alpha}\rightarrow A; \alpha \in I_F a relacemi P_\alpha \subseteq A^{n_\alpha}; \alpha\in I_P. Konstanta \,C_\alpha, resp. +more funkce \,F_\alpha, resp. relace \,P_\alpha se nazývá realizací konstantního symbolu \,c_\alpha, resp. funkčního symbolu \,f_\alpha, resp. predikátového symbolu \,p_\alpha v modelu A a značí se \,c_\alpha^A, resp. \,f_\alpha^A, resp. \,p_\alpha^A. Struktura s nosičem A (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí \mathcal{A}.

Méně formálně: Jazyk obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka přidává množinu A (nosič struktury, např. +more množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka jejich realizace.

Tarského definice pravdy

V tomto odstavci značí \mathcal{A} model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu \mathcal{A} je každá funkce e z množiny všech proměnných do nosiče A. +more Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením e na všech proměnných kromě x a na x má hodnotu a, značíme e(x/a).

Realizace termu

Realizace termu t jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu A, značíme \,t^A\langle e\rangle, se definuje indukcí dle složitosti takto: * \,t^A\langle e\rangle=e(x), je-li t proměnná x * \,t^A\langle e\rangle=c_\alpha^A, je-li t konstantní symbol \,c_\alpha * t^A\langle e\rangle=f_\alpha^A(t_0^A\langle e\rangle,\ldots, t_{n_\alpha-1}^A\langle e\rangle), je-li t=f_\alpha(t_0,\ldots,t_{n_\alpha-1}) a t_0,\ldots,t_{n_\alpha-1} jsou termy

Platnost formule

Platnost formule \,\varphi jazyka L při ohodnocení proměnných e v modelu \mathcal{A} definujeme indukcí dle složitosti takto (\,\varphi platí v \mathcal{A} při ohodnocení e značíme \mathcal{A}\models\varphi\langle e\rangle, \,\varphi neplatí v \mathcal{A} při ohodnocení e značíme \mathcal{A}\not\models\varphi\langle e\rangle): * Je-li \,\varphi atomická formule tvaru p_\alpha(t_0,\ldots,t_{n_\alpha-1}), pak \mathcal{A}\models\varphi\langle e\rangle, pokud (t_0^A\langle e\rangle,\ldots,t_{n_\alpha-1}^A\langle e\rangle)\in p_\alpha^A. * Je-li \,\varphi atomická formule tvaru \,t_0=t_1, pak \mathcal{A}\models\varphi\langle e\rangle, pokud t_0^A\langle e\rangle=t_1^A\langle e\rangle. +more * Je-li \,\varphi formule tvaru \neg \psi, pak \mathcal{A}\models\varphi\langle e\rangle pokud \mathcal{A}\not\models\psi\langle e\rangle * Je-li \,\varphi formule tvaru \psi \Rightarrow \chi, pak \mathcal{A}\models\varphi\langle e\rangle pokud buďto \mathcal{A}\not\models\psi\langle e\rangle nebo \mathcal{A}\models\chi\langle e\rangle. * Je-li \,\varphi formule tvaru (\forall x)\psi, pak \mathcal{A}\models\varphi\langle e\rangle, pokud \mathcal{A}\models\psi\langle e(x/a)\rangle pro všechna a\in A.

Říkáme, že \,\varphi platí v modelu \mathcal{A}, značíme \mathcal{A}\models\varphi, pokud \mathcal{A}\models\varphi\langle e\rangle pro každé ohodnocení proměnných e.

Model teorie

Je-li T teorie v jazyce L a \mathcal{A} struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že \mathcal{A} je modelem T, značíme \mathcal{A}\models T, pokud \mathcal{A}\models\varphi pro každý axiom \,\varphi teorie T.

Příklady

Množina přirozených čísel spolu s konstantou \,0, binární relací \,\leq a funkcemi \,+, \,\cdot a \,S (\,S(n)=n+1) tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model. +more * Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.

Izomorfismus modelů

Izomorfismem modelů (struktur) \mathcal{A},\, \mathcal{B} téhož jazyka L je taková bijekce i:A\rightarrow B, která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje: * \,i(c^{A})=c^B pro každý konstantní symbol c jazyka L * i(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(i(a_1),\ldots,i(a_n)) pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n. +more * p^A(a_1,\ldots,a_n)\Leftrightarrow p^B(i(a_1),\ldots,i(a_n)).

Existuje-li izomorfismus modelů \mathcal{A},\, \mathcal{B}, říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články

Vnitřní model * Teorie modelů * Morleyova věta o kategoričnosti * Vaughtova věta * Löwenheim-Skolemova věta

Kategorie:Matematická logika