Cesko.wiki Moivreova věta
Author
Albert FloresMoivreova (čti [mwavʁova] IPA) věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:
:(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,
kde i je imaginární jednotka.
Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.
Výraz \cos x + i\sin x se někdy zkracuje na \mathrm{cis}\ x.
Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).
Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zn = 1.
Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.
Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce eix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.
Užití věty
Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.
Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru
z=A(\cos x+i\sin x),\,
pak všech jeho n \,\. odmocnin n \,\. +more -tého stupně lze zapsat jako :z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}= \{ A^{1/n}(\cos\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) + i\sin\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) ) : 0 \leq k \leq n-1 \}.
Důkaz
Uvažujme tři případy:
Pro n > 0 použijeme indukci. Pro n = 1 rovnost evidentně platí. +more Uvažujme indukční krok n → n0 + 1 :(\cos x+i\sin x)^{n_0+1}\, := (\cos x+i\sin x)^{n_0}(\cos x+i\sin x)\, := (\cos(n_0x)+i\sin(n_0x))(\cos x+i\sin x)\, (z indukčního předpokladu) := \cos(n_0x)\cos x - \sin(n_0x)\sin x + i(\cos(n_0x)\sin x + \sin(n_0x)\cos x)\, Zde použijeme goniometrické součtové vzorce: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y). := \cos((n_0+1)x) + i\sin((n_0+1)x)\,.
Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n0 + 1, jestliže platí pro n0, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.
Pro n = 0 rovnost platí, protože \cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i\cdot0 = 1 a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.
Pro n (\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,
:=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos (mx) + i\sin (mx))}\, (shora)
:=\cos(mx) - i\sin(mx)\, :=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx).\,
Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.
Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)w.