Riemannův součet

metody Riemannova součtu pro aproximaci plochy pod křivkou. Pravý a levý součet používají aproximaci pomocí hodnoty v pravém nebo levém koncovém bodu každého podintervalu. Maximální a minimální součet používají pro aproximaci větší nebo menší z hodnot v koncových bodech každého podintervalu. Při zmenšování velikosti intervalů hodnoty všech těchto součtů konvergují ke stejnému číslu.

Riemannův součet je v matematice určitým druhem aproximace hodnoty určitého integrálu konečným součtem. Je pojmenovaný po německém matematikovi Bernhardu Riemannovi, který žil v devatenáctém století. +more K jeho nejobvyklejším aplikacím patří aproximace plochy pod grafem funkce, ale umožňuje také další aproximace, např. délky křivek.

Pro výpočet Riemannova součtu se oblast rozdělí na vhodné tvary (obdélníky, lichoběžníky, plochy omezené obloukem paraboly nebo kubické funkce), jejichž plochu umíme spočítat, a které dohromady ohraničují geometrický útvar, který se blíží útvaru, jehož plocha má být určena. Sečtením plochy všech dílčích útvarů získáme numerickou aproximaci určitého integrálu i když základní věta integrálního počtu neumožňuje nalézt analytické řešení.

Protože oblast vyplněná malými tvary obvykle nemá přesně stejný tvar jako oblast, jejíž plochu máme určit, Riemannův součet nebude přesně rovný velikosti původní plochy. Chybu však lze zmenšovat jemnějším rozdělením oblasti používáním stále menších tvarů. +more Při tomto zjemňování se součet blíží k Riemannovu integrálu.

Definice

Nechť f: \langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb R je funkce definovaná na uzavřeném intervalu I = \langle a,b\rangle reálných čísel \mathbb R a :P = \left \{\langle x_0,x_1\rangle,\langle x_1,x_2\rangle,\dots,\langle x_{n-1},x_n\rangle \right \}⁠, je dělení tohoto intervalu, tj. :a=x_0. +more Riemannův součet S funkce f na intervalu I s dělením P pak definujeme výrazem :S = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\, \Delta x_i kde \Delta x_i=x_i-x_{i-1} a x_i^*\in\langle x_{i-1},x_i\rangle. Jaký bod intervalu se použije jako x_i^*, není důležité, protože hodnoty \Delta x_i se blíží k nule, stejně jako rozdíl mezi jakýmikoli dvěma body v intervalu. To je působeno tím, že volba x_i^* v intervalu \langle x_{i-1},x_i\rangle je libovolná a tak pro jakoukoli danou funkci f definovanou na intervalu I a pevné dělení P, můžeme vytvářet různé Riemannovy součty v závislosti na tom, jak je zvolen bod x_i^*, pokud platí x_{i-1}\le x_i^* \le x_i.

Některé speciální typy Riemannových součtů

Pro různé volby x_i^* dostáváme různé typy Riemannových součtů: * Pokud x_i^*=x_{i-1} pro všechna i, pak S se nazývá levý Riemannův součet. * Pokud x_i^*=x_i pro všechna i, pak S se nazývá pravý Riemannův součet. +more * Pokud x_i^*=(x_i+x_{i-1})/2 pro všechna i, pak S se nazývá nebo středový Riemannův součet . * Pokud f(x_i^*) = \sup f(\langle x_{i-1},x_i\rangle ) (tj. supremum funkce f na intervalu \langle x_{i-1},x_i\rangle), pak S je horní Riemannův součet nebo horní Darbouxův součet. * Pokud f(x_i^*) = \inf f(\langle x_{i-1},x_i\rangle ) (tj. infimum funkce f na intervalu \langle x_{i-1},x_i\rangle), pak S je dolní Riemannův součet nebo dolní Darbouxův součet.

Všechny tyto volby patří k nejjednodušším metodám numerické integrace. Zhruba řečeno, funkce je Riemannovsky integrovatelná, pokud všechny Riemannovy součty při „zjemňování“ dělení konvergují ke stejné hodnotě.

Průměr levých a pravých Riemannových součtů představuje nejjednodušší z mnoha způsobů aproximace integrálu pomocí vážených průměrů; tento konkrétně se nazývá lichoběžníková metoda. Ke složitějším patří Simpsonova metoda a Newtonovy-Cotesovy vzorce.

Hodnota jakéhokoli Riemannova součtu na daném dělení (tj. pro jakoukoli volbu x_i^* mezi x_{i-1} a x_i) leží mezi dolním a horním Darbouxovým součtem. +more Ty jsou základem Darbouxova integrálu, který je ekvivalentní s Riemannovým integrálem.

Metody

Pro podrobnější rozbor čtyř metod Riemannovy sumace použijeme dělení intervalu na stejné díly. Interval \langle a, b\rangle rozdělíme na n podintervalů, každý délky

:\Delta x = \frac{b-a}{n}.

Body dělení budou

: a, a + \Delta x, a + 2 \,\Delta x, \ldots, a + (n-2) \,\Delta x, a + (n-1)\,\Delta x, b.

Levý Riemannův součet

Levý Riemannův součet pro funkci x3 na intervalu \langle 0,2\rangle rozděleném na 4 podintervaly U levého Riemannova součtu aproximujeme hodnotu funkce její hodnotou v levém koncovém bodě. +more Dostaneme několik obdélníků s základnou velikosti Δx a výškami f(a + iΔx). Celková plocha bude.

:\Delta x \left[f(a) + f(a + \Delta x) + f(a + 2 \,\Delta x)+\cdots+f(b - \Delta x)\right].

Levý Riemannův součet přeceňuje skutečnou hodnotu, jestliže f je monotonně klesající na tomto intervalu a podceňuje ji, jestliže funkce je monotonně rostoucí.

Pravý Riemannův součet

Pravý Riemannův součet pro funkci x3 na intervalu \langle 0,2\rangle rozděleném na 4 podintervaly Pokud hodnotu f budeme aproximovat hodnotou v pravém koncovém bodě intervalu, dostáváme obdélníky se základnou Δx a výškami f(a + i Δx). +more Celková plocha bude :\Delta x \left[ f(a + \Delta x ) + f(a + 2 \, \Delta x)+\cdots+f(b) \right].

Pokud je f monotonně klesající, pak pravý Riemannův součet skutečnou hodnotu podceňuje; pokud je monotonně rostoucí, pak ji přeceňuje. Chyba součtu bude

:\left \vert \int_{a}^{b} f(x) \, dx - A_\mathrm{right} \right \vert \le \frac{M_1 (b-a)^2}{2n},

kde M_1 je maximální hodnota absolutní hodnoty f^{\prime}(x) (derivace f) na daném intervalu.

Středový součet

Středový Riemannův součet pro funkci x3 na intervalu \langle 0,2\rangle rozděleném na 4 podintervaly Approximace f ve středu intervalů dává pro první interval f(a + Δx/2), pro další f(a + 3Δx/2), atd. +more, až po f(b − Δx/2). Sečtení oblastí dává.

:\Delta x\left[f(a + \tfrac{\Delta x}{2}) + f(a + \tfrac{3\,\Delta x}{2}) + \cdots+f(b-\tfrac{\Delta x}{2})\right].

Chyba tohoto vzorce bude

:\left \vert \int_a^b f(x) \, dx - A_\mathrm{mid} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{24n^2},

kde M_2 je maximální hodnota absolutní hodnoty f^{\prime\prime}(x) (druhé derivace f) na daném intervalu.

Lichoběžníková metoda

Lichoběžníkový Riemannův součet pro funkci x3 na intervalu \langle 0,2\rangle rozděleném na 4 podintervaly

V tomto případě jsou hodnoty funkce f na intervalu aproximovány průměrem hodnot v levém a pravém koncovém bodě. Pro výpočet použijeme vzorec pro výpočet plochy lichoběžníka s rovnoběžnými stranami b1, b2 a výškou h: :A=\tfrac{1}{2}h(b_1+b_2) Celková plocha bude

:\tfrac{1}{2}\,\Delta x\left[f(a) + 2f(a+\Delta x) + 2f(a+2\,\Delta x) + 2f(a+3\,\Delta x)+\cdots+f(b)\right].

což je mimochodem průměr levých a pravých součtů této funkce.

Chyba tohoto vzorce je

:\left \vert \int_{a}^{b} f(x) \, dx - A_\mathrm{trap} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{12n^2},

kde M_2 je maximální hodnota absolutní hodnoty f^{\prime\prime}(x).

Riemannův integrál

Pokud se zabýváme jednorozměrnými Riemannovými součty na intervalu \langle a,b\rangle, zjistíme, že pro některé funkce se při zmenšování maximální velikosti dělení k nule (tj. když se limita normy dělení blíží k nule) budou všechny Riemannovy součty konvergovat ke stejné hodnotě. +more Tuto limitní hodnotu, pokud existuje, nazveme určitým Riemannovým integrálem příslušné funkce na intervalu \langle a,b\rangle, tj.

: \int_a^b \! f(x) \, dx = \lim_{\|\Delta x\|\rightarrow0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \,\Delta x_i.

Pokud se maximální velikost dělení zmenšuje k nule, počet podintervalů roste k nekonečnu. Pro každé konečné dělení je Riemannův součet vždy aproximací limitní hodnoty, a tato aproximace se zlepšuje při zjemňování dělení. +more Následující animace ukazuje, jak zjemňování dělení (při zmenšování velikosti maximálního prvku dělení) lépe aproximuje „plochu“ pod křivkou:.

Soubor:Riemann sum (leftbox).gif|Levý součet Soubor:Riemann sum (rightbox).gif|Pravý součet Soubor:Riemann sum (middlebox).gif|Středový součet

Protože se předpokládá, že červená funkce je hladká funkce, všechny tři Riemannovy součty budou konvergovat ke stejné hodnotě, když se počet podintervalů blíží k nekonečnu.

Příklad

Plochu pod křivkou y = x2 mezi 0 a 2 můžeme v našem příkladě procedurálně vypočítat Riemannovou metodou.

Interval \langle 0, 2\rangle nejprve rozdělíme na n podintervalů, každý o šířce \tfrac{2}{n}; což jsou šířky Riemannových obdélníků (zde „boxů“). Protože chceme vypočítat pravý Riemannův součet, posloupnost x-ových souřadnic boxů bude x_1, x_2, \ldots, x_n, a tedy posloupnost výšek boxů bude x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2. +more Při tom platí, že x_i = \tfrac{2i}{n} a x_n = 2.

Obsah každého okna bude \tfrac{2}{n} \times x_i^2 a proto n-tý pravý Riemannův součet bude :\begin{align} S &= \frac{2}{n} \times \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{2}{n} \times \left(\frac{2i}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{2}{n} \times \left(\frac{2n}{n}\right)^2 \\ &= \frac{8}{n^3} \left(1 + \cdots + i^2 + \cdots + n^2\right)\\ &= \frac{8}{n^3} \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\\ &= \frac{8}{n^3} \left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\right)\\ &= \frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{3n^2} \end{align}

Když uvažujeme limitní případ n → ∞, můžeme dojít k závěru, že se zvětšujícím se počtem boxů se aproximace přibližují skutečné velikosti plochy pod křivkou. Tudíž: :\lim_{n \to \infty} S = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{3n^2}\right) = \frac{8}{3}

Tato metoda souhlasí s určitým integrálem spočítaným mechaničtějším způsobem:

:\int_0^2 x^2\, dx = \frac{8}{3}

Protože funkce je na intervalu spojitá a monotonně rostoucí, pravý Riemannův součet přeceňuje integrál o největší hodnotu (zatímco levý Riemannův součet podceňuje integrál o největší hodnotu). Tento fakt, který je intuitivně jasný z diagramů, ukazuje jak povaha funkce určuje, jak přesně integrál je odhadnutý. +more I když jsou jednoduché, pravý a levý Riemannův součet jsou často méně přesné než pokročilejší techniky odhadu integrálu jako je např. lichoběžníková metoda nebo Simpsonova metoda.

K funkci z tohoto příkladu je snadné nalézt primitivní funkci, takže odhadování integrálu Riemannovými součty je spíše akademické cvičení; ne ke všem funkcím je však možné najít primitivní funkci, takže odhadování jejich integrálů sumací je důležité i prakticky.

Vícerozměrné součty

Základní myšlenkou za Riemannovým součtem je „rozdělit“ interval na části, znásobit „velikost“ každé části určitou reprezentací hodnoty, kterou funkce nabývá na této části a všechny tyto součiny sečíst. To lze zobecnit tím, že povolíme Riemannovy součty pro funkce na více než jednorozměrném oboru.

Intuitivně je snadné porozumět procesu dělení intervalu, ale technické detaily, jak integrační obor rozdělit, jsou mnohem složitější než v jednorozměrném případě a týkají se aspektů geometrického tvaru integračního oboru.

Dvourozměrný případ

Ve dvourozměrném případě je třeba integrační obor A rozdělit na buňky A_i takové, že A = \cup_i A_i. Pro každou buňku v dvojrozměrném prostoru pak její „plochu“ označíme \Delta A_i. +more Riemannův součet je :S = \sum_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i, kde (x_i^*,y_i^*) \in A_i.

Trojrozměrný případ

Ve trojrozměrném prostoru je obvyklé pro integrační obor používat písmeno V, takže pro dělení platí V = \cup_i V_i, kde \Delta V_i je „objem“ buňky indexované i. Trojrozměrný Riemannův součet pak lze zapsat jako :S = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*,y_i^*,z_i^*) \,\Delta V_i kde (x_i^*,y_i^*,z_i^*) \in V_i.

Libovolný počet rozměrů

K vícerozměrným Riemannovým součtům přejedeme podobně jako od jednorozměrného k dvoj- nebo trojrozměrným součtům. Pro libovolný počet rozměrů n lze Riemannův součet zapsat jako :S = \sum_i f(P_i^*)\, \Delta V_i kde P_i^*\in V_i je nějaký bod v n-rozměrné buňce V_i, která má n-rozměrný objem \Delta V_i.

Zobecnění

Velmi obecně lze Riemannovy součty zapsat vztahem :S = \sum_i f(P_i^*) \mu(V_i) kde P_i^* je libovolný bod obsažený v prvku dělení V_i a \mu je míra na podkladové množině. Zhruba řečeno, míra je funkce, které udává „velikost“ množiny, v tomto případě velikost množiny V_i; v jednorozměrném prostoru bývá míra interpretována jako délka intervalu, ve dvourozměrném prostoru jako plocha, v trojrozměrném prostoru jako objem, atd.

Odkazy

Reference

Související články

Primitivní funkce * Lebesgueův integrál * Eulerova metoda a středová metoda, příbuzné metody pro řešení diferenciálních rovnic * Riemannův integrál, limita Riemannových součtů, pro nekonečně jemné dělení * Lichoběžníková metoda, numerická metoda založená na použití průměru z levého a pravého Riemannova součtu * Simpsonova metoda, výkonná numerická metoda účinnější než základní Riemannův součet i lichoběžníková metoda

Externí odkazy

[url=http://www. vias. +moreorg/simulations/simusoft_riemannsum. html]Simulace ukazující konvergenci Riemannových součtů[/url] * [url=https://kam. mff. cuni. cz/~klazar/mult_riem_int. pdf]Vícerozměrný Riemannův integrál a Fubiniova věta[/url] materiál k přednášce Martina Klazara, podle 11. kapitoly knihy V. A. Zoricha, Mathematical Analysis II, Springer, 2004.

Kategorie:Integrální počet Kategorie:Numerická integrace Součet