Cesko.wiki Souřadnicový zápis tenzorových veličin
Author
Albert FloresSouřadnicový zápis tenzorových veličin je způsob zápisu vektorů, tenzorů a obecněji tenzorových polí pomocí jejich složek v dané soustavě souřadnic. Při takovém způsobu zápisu předpokládáme, že souřadnicove jsou pevně dány a píšeme jen složky tenzorů vůči této soustavě souřadnic. Tento formalismus se využívá především v teorii relativity (např. ) a v diferenciální geometrii.
Mnohé důležité tenzorové identity vyskytující se ve fyzice mají vlastnost, že zápis identity vypadá ve všech soustavách souřadnic stejně. Tato vlastnost se nazývá invariance. +more Podobně můžeme mluvit o invariantních diferenciálních operátorech, pokud se v identitě vyskytuje diferencování a zápis rovnice nezávisí na volbě souřadnic.
Příkladem souřadnicového zápisu tenzorů je popis metrického tenzoru pomocí sady čísel (resp. funkcí) g_{ij}, kde i,j jsou přirozená čísla, anebo popis Riemannova tenzoru křivosti pomocí jeho složek \scriptstyle R^i_{jkl}.
Základy formalismu
Jednotlivé složky tenzorových veličin jsou značeny indexy, přičemž indexy nahoře se nazývají kontravariantní a odpovídají souřadnicím vektorů, kdežto indexy dole se nazývají kovariantní a odpovídají značení kovektorů (forem). V teorii relativity se zpravidla používá řeckých písmen a hodnot 0,. +more,3 pro indexování časoprostorových tenzorových veličin a latinských indexů 1,. ,3 pro prostorové vektory a tenzory. Tenzorovou veličinou se rozumí tenzory, tenzorová pole, tenzorové hustoty a pole tenzorových hustot. Ve fyzice se rozdíl mezi tenzory a tenzorovými poli často nezdůrazňuje a mluví se o nich souhrnně jako o tenzorech.
Souřadnicový zápis je založen na užívání Einsteinova sumačního pravidla, tedy sčítání přes všechny hodnoty indexů, které jsou v jednom členu označeny stejně a mají opačnou polohu. Takové indexy se nazývají sčítací (anglicky „dummy indices“). +more Indexy, přes které se nesčítá, se nazývají volné.
V relativitě se často využívá faktu, že operujeme na prostoru s definovanou metrikou a skrz ni definovanou beztorzní metrickou konexí. Metrika umožňuje mj. +more tzv. zvedání a snižování indexů tenzorových veličin vysčítáním daného indexu s metrikou. Metrická konexe zase zavedení kovariantních derivací, jejichž aplikací se definuje většina obvyklých invariantních diferenciálních operátorů. Ve formalismu je ustálené značení obvykle se vyskytujících objektů, jako metrický tenzor, Kroneckerovo delta a Levi-Civitův tenzor.
Příklady:
: Ai je v této notaci vektor, S je skalár a Rijkl je jednou kontravariantní a třikrát kovariantní tenzor čtvrtého řádu.
:A^{ij}B_j\equiv \sum_{j=1}^{3}{A^{ij}B_j} (Einsteinovo sumační pravidlo.)
Stručné zavedení metrického tenzoru
Metrický tenzor udává diferenciální nárůst vzdálenosti s při změně součadnic x^i podle vztahu
:\mathrm{d}s^2 = g_{ij}(x^k)\;\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j.\,
Vzdálenost se pak měří po křivce, podél které se tento vztah zintegruje. Metrický tenzor rovněž určuje velikost vektorů podle vztahu
:|A|^2 \equiv g_{ij}\;A^i A^j.
Běžně se zavádí také metrický tenzor v kontravariantním tvaru g^{ij}, který je definován vztahy
:g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k.
Zvedání a snižování indexů
Kovariantní a kontravariantní vyjádření tenzorů jsou provázány následujícími dvěma vztahy (A je n-krát kontravariantní a m-krát kovariantní tenzor (m+n)-tého řádu, jehož k-tý index (vždy z příslušné skupiny indexů) snižujeme, resp. zvyšujeme):
:g_{i_k j}{A^{i_1\dots i_{(k-1)} i_k i_{(k+1)} \dots i_n}}_{i_1 \dots i_m} = {A^{i_1\dots i_{(k-1)} i_{(k+1)} \dots i_n}}_{i_1 \dots i_m j}
:g^{i_k j}{A^{i_1 \dots i_n}}_{i_1\dots i_{(k-1)} i_k i_{(k+1)} \dots i_m} = {A^{i_1 \dots i_n j}}_{i_1\dots i_{(k-1)} i_{(k+1)} \dots i_m}
Další obvyklé objekty v souřadnicovém formalismu
Kroneckerovo delta a Levi-Civitův symbol
Chceme-li, aby námi užívaný formalismus platil v libovolné souřadné soustavě, je potřeba definovat permutační znak a Kroneckerovo delta tak, aby šlo o tenzorové veličiny, a to s důrazem na správnou polohu indexů. Zpravidla se používá méně obecné zavedení.
:\delta^i_j = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{je-li } i=j \\ 0 & \mbox{je-li } i \ne j \end{matrix}\right.
Takto definované Kroneckerovo delta se transformuje jako tenzor a má v každé souřadné soustavě stejný tvar. Snížením nebo zvýšením indexu metrikou vidíme, že je totožné s metrickým tenzorem, neboť :g_{ij}\delta^j_k = g_{ik},\, :g^{ik}\delta^j_k = g^{ij}. +more\,.
Požadavek nezávislosti na souřadné soustavě znemožňuje stejně jednoduché zavedení permutačního symbolu. Obecněji se proto v křivých prostorech zavádí podle následující definice: :\varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = \sqrt
| g |
|---|
\scriptstyle g \equiv \det g_{ij} je přitom determinant z metrického tenzoru. Tím, že definujeme \scriptstyle \varepsilon pro jedno uspořádání indexů a tím, že změní znaménko při záměně každých dvou indexů, je definice jednoznačná. +more Z ní také plyne, že pokud jsou dva indexy shodné, permutační symbol má nulovou hodnotu. Při této definici se \scriptstyle \varepsilon transformuje jako tenzor. Obvyklé je také zavedení \scriptstyle \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} = \varepsilon^{i_1 i_2 \dots i_n} = 1 pro i_k=k, kde obětujeme tenzorové transformační vlastnosti za jednoduchost zápisu.
V rovném prostoru a kartézské souřadnicové soustavě obě definice přechází v klasické zavedení permutačního symbolu.
Diferenciální operátory v souřadnicovém zápisu
Chceme-li souřadnicově zapsat vektorové (tenzorové) diferenciální operátory, zavádí se tzv. operátor čárky pro derivování podle souřadnic, a to následujícím způsobem:
:{A^{i_1\dots i_n}}_{j_1\dots j_m,k} \equiv {\partial}_{k} {A^{i_1\dots i_n}}_{j_1\dots j_m} \equiv \frac{{\partial A^{i_1\dots i_n}}_{j_1\dots j_m}}{\partial x^k}.
Pracujeme-li v souřadných soustavách, které mají nekonstantní metrický tenzor, prostá parciální derivace souřadnic tenzorového pole není tenzorové pole. Proto se v definici diferenciálních operátorů zavádí tzv. +more kovariantní derivace, která tuto vlastnost má. V souřadnicovém formalismu se zpravidla značí středníkem. Nejčastěji je definována přes Levi-Civitovu beztorzní konexi generovanou metrikou.
Porovnání jednotlivých notací
V následující tabulce jsou porovnány vybrané identity ve vektorovém zápisu a v souřadnicovém zápisu. Předpokládá se trojrozměrný prostor s konstantním metrickým tenzorem. +more Pro Kartézské souřadnice navíc platí g_{ij}=\delta_{ij}.
| Pojmenování | Vektorový tvar | Souřadnicový tvar |
|---|---|---|
| Skalární součin vektorů | \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} | A^i B_i = g_{ik} A^i B^k = g^{ik} A_i B_k \, |
| Vektorový součin vektorů | \mathbf{A}\times\mathbf{B} | \varepsilon_{ijk} A^j B^k |
| Gradient skalárního pole | \nabla \phi(\mathbf{r}) | \phi(x^i)_{,j}\, |
| Divergence vektorového pole | \nabla \cdot \mathbf{A}(\mathbf{r}) | {A^j}_{,j}\left(=A^j(x^i)_{,j}\right)\, |