Stokesova věta

Technology

12 hours ago

Author

Stokesova věta je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes hladkou orientovanou plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Naopak speciálním případem Stokesovy věty v rovině je Greenova věta. Autorem Stokesovy věty je irský fyzik Georg Stokes.

Znění věty

Je-li \mathbf{F}(x,y,z)=[F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)] vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na otevřené jednoduše souvislé po částech hladké kladně orientované ploše S ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou C, pak platí:

\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_S \left({\nabla\times\mathbf{F}}\right)\cdot\mathbf{n} \ \mathrm{d}S =

= \iint_S (\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}) \ \mathrm{d}y \ \mathrm{d}z+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}) \ \mathrm{d}z \ \mathrm{d}x+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}) \ \mathrm{d}x \ \mathrm{d}y =

= \oint_C (F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z),

kde \nabla\times\mathbf{F} je rotace vektorového pole \mathbf{F}(\mathbf{r}), kde \mathrm{d} \mathbf{r}=[dx,dy,dz], vyjádřená pomocí operátoru nabla a křivka C je orientována tak, že při obíhání po této křivce v kladném smyslu je plocha S vždy po levé straně.