Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference. Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností. Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro dané i. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.

Vzorce

V následujících vzorcích označuje a_n n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadání

známe některý člen a jeho index: i, a_i

* známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu: \, a_{n+1} = a_n + d

Zadání vzorcem pro n-tý člen

: a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d

Vyjádření r-tého členu z s-tého

: a_r = a_s + (r-s)\cdot d

Součet prvních n členů

: s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d

Odvození vzorce pro součet prvních n členů

Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

:s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ldots + [a_1 + (n-2) d] + [a_1 + (n-1) d]

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:

:s_n =[a_1 + (n-1)d] + [a_1 + (n-2)d] + \ldots + (a_1 + d) + a_1

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

:2s_n = n \cdot [a_1 + a_1 +(n-1)d],

:s_n = \frac {n \cdot (a_1 + a_n)}{2}.

Historická souvislost

Pro důkaz vzorce pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti (viz přiložený animovaný obrázek) je možné využít příběh o mladém matematikovi K. F. +more Gaussovi (1777-1855). Když byl Gauss malým žáčkem, potřeboval žáčky jejich učitel zaměstnat, a tak jim zadal úkol sečíst čísla od 1 do 100. Zatímco spolužáci byli teprve na začátku výpočtu, malý žáček Gauss již hlásil výsledek (celkem 5 050). Uvědomil si totiž, že když si napíše řadu čísel 1 až 100 a nad ní stejnou řadu v obráceném pořadí, bude součet pod sebou napsaných čísel vždy 101 (první a poslední člen je 1 + 100 = 101, druhý a předposlední člen je 2 + 99 = 101, atd. ) a těchto součtů bude celkem 100. Takže celkový součet bude 100 \cdot 101 = 10100, avšak řada je v něm započtena dvakrát, takže je výsledek nutné vydělit dvěma, a proto bude součet řady s_{100} = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = 5050.

Příklad

Například je-li a_1 = -5 a d = 3, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměrem

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

\ a_n = \frac {a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupností

Je-li posloupnost a_n aritmetická, tak je posloupnost b^{a_n} geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost g_n geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost \quad \log_b g_n aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti #Součet prvních \'\'n\'\' členů|n-tých částečných součtů. Platí tedy :\lim_{n \to \infty} s_n = \pm \infty, kde kladné znaménko platí pro d>0 anebo d=0, a_1>0 a záporné pro d anebo d=0, a_1.

Pro a_1=d=0 je součet :\lim_{n \to \infty} s_n = 0.

Odkazy

Reference

Související články

Geometrická posloupnost * Harmonická posloupnost * Aritmeticko-geometrická posloupnost

Externí odkazy

Kategorie:Matematické posloupnosti a řady