Nilpotentní prvek

Nilpotentní prvek je v matematice takový prvek a okruhu R, u kterého pro nějaké přirozené číslo n platí a^n=0, tedy jehož nějaká konečná mocnina je rovna nulovému prvku.

Příklady

V maticovém okruhu čtvercových matic řádu 3 nad reálnými čísly je rovna nulové matici například třetí mocnina matice *: \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix} * Ve faktorokruhu \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, tedy při počítání modulo 8, jsou nilpotentními prvky 2, 4 a 6, protože 2^3\equiv 8\equiv 0, 4^2\equiv 16\equiv 0, 6^3\equiv 216\equiv 0

Vlastnosti

Nilpotentním prvkem nemůže být žádná jednotka. * Všechny (nenulové) nilpotentní prvky patří mezi dělitele nuly * V případě komutativních okruhů platí, že všechny nilpotentní prvky tvoří ideál (uzavřenost na sčítání lze nahlédnout z binomické věty), který se nazývá nilradikál. +more Také platí, že každý prvoideál obsahuje všechny nilpotentní prvky daného okruhu.

Reference

Kategorie:Teorie okruhů