Zobecněná Stokesova věta

Zobecněná Stokesova věta je v diferenciální geometrii tvrzení o integraci diferenciálních forem, které zobecňuje a zahrnuje několik vět. Je pojmenovaná po Georgi Gabrielu Stokesovi, ačkoliv poprvé tuto větu pravděpodobně zformuloval William Thomson.

Znění věty

Buď M varieta dimenze k v prostoru dimenze n s okrajem \partial M s kladnou orientací a buď \omega diferenciální forma na M rozměru k-1, pak platí:

:\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega,

kde d je vnější derivace diferenciální formy, pak:

* pro n=1, k=1 přechází na druhou základní větu integrálního počtu, * pro n=2, k=2 přechází na Greenovu větu, * pro n=3, k=1 přechází na větu o potenciálu křivkového integrálu 2. druhu, * pro n=3, k=2 přechází na Stokesovu větu, * pro n=3, k=3 přechází na Gaussovu větu.

Odvození Gaussovy věty

Uvažuje se Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. +more Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole:.

:\oint_{\partial M} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{\partial M} A_x(x,y,z) \, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z + A_y(x,y,z) \, \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+ A_z(x,y,z) \, \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y =

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý. \wedge je vnější součin forem. +more Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou, aby nedošlo ke změně orientace diferenciální formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný). Nyní zderivujme integrovanou formu, v jejích členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá vždy jedna:.

: = \int_{M} \mathrm{d}\left(A_x(x,y,z) \, \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z + A_y(x,y,z) \, \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+ A_z(x,y,z) \, \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\right) =

: = \int_{M} \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x} \mathrm{d}y \wedge\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z} \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z =

: = \int_{M} \left(\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z} \right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z =

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze převést integrál formy na běžný integrál přes objem:

: = \int_{M} \left({\nabla\cdot\mathbf{A}}\right) \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z = \int_V ({\nabla\cdot\mathbf{A}}) \,\mathrm{d}V,

je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

Odvození Stokesovy věty

Uvažuje se Stokesova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou Σ tedy budeme v tomto případě rozumět danou plochu a ∂Σ křivku, která ji uzavírá, obdobným postupem jako u odvození Gaussovy věty tedy dostaneme:

:\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\tau}= \oint_{\partial \Sigma} A_x(x,y,z) \mathrm{d}x+A_y(x,y,z) \mathrm{d}y+A_z(x,y,z) \mathrm{d}z=

:=\int_\Sigma \mathrm{d}\left(A_x(x,y,z) \mathrm{d}x+A_y(x,y,z) \mathrm{d}y+A_z(x,y,z) \mathrm{d}z\right)=

Provede se vnější derivace na jednotlivých formách:

:=\int_\Sigma \left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial y} \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+ \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial z} \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z+ \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial x} \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x+\right. \left. +more + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial z} \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial x} \mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y} \mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}y\right) =.

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem:

:=\int_\Sigma \left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial y}- \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial x} \right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y++ \left( \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial z}- \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y} \right)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+ \left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial z}- \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial x} \right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z =

Jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů, dostáváme Stokesovu větu:

:=\int_S \left({\nabla\times\mathbf{A}}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}

Reference

Související články

Křivkový integrál * Plošný integrál * Stokesova věta * Greenova věta * Gaussova věta

Externí odkazy

Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Matematické věty a důkazy