Přechodový jev (elektrický obvod)

Přechodový jev je fyzikální děj probíhající v čase mezi dvěma ustálenými stavy. V ustáleném stavu se energie soustavy nemění (popř. se mění periodicky), během přechodového děje dochází k jejím změnám.

Vznik jevu je podmíněn změnami energie v akumulačních prvcích obvodu (kondenzátory a cívky). Tyto změny nemohou proběhnout okamžitě, protože by vyžadovaly zdroj nekonečné energie. +more Charakter jevu závisí na druhu zapojených akumulačních prvků. Obsahuje-li obvod pouze jeden akumulační prvek obvodu (tj. kromě rezistoru pouze kondenzátor nebo pouze cívku), nemůže dojít k vratné výměně energie a děj probíhá aperiodicky. Pokud však obvod obsahuje oba akumulační prvky, dochází k periodické výměně energie mezi prvky - rezonance. Tyto obvody pak nazýváme oscilátory. Průběh náběhového (připojení zdroje) resp. doběhového (odpojení zdroje) proudu v RL resp. RC obvodu. .

Přechodové jevy prvního řádu

RL obvod

RL obvod RL obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky. +more Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na cívce vytvoří magnetické pole, které se bude zvětšovat a na cívce se začne indukovat napětí. Napětí na cívce je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na rezistoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na cívce snižovat a na rezistoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2. Kirchhoffův zákon):.

:L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) = U_0 \, \, \, \, \, tj. i(t) = {U_0 \over R} (1-e^{-{t\over \tau}}) \, \, \, \, \, tj. i(0) = 0 \, \, \, \, \, tj. i(\infty) = {U_0 \over R}

a po odpojení zdroje napětí se začne energie magnetického pole cívky měnit v rezistoru na energii tepelnou:

:L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) = 0 \, \, \, \, \, tj. i(t) = {U_0 \over R} e^{-{t\over \tau}} \, \, \, \, \, tj. i(0) = {U_0 \over R} \, \, \, \, \, tj. i(\infty) = 0,

časová konstanta je \tau=\frac{L}{R}.

RL obvod (střídavý)

RL obvod (střídavý) RL obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky a je modelován rovnicí (2. +moreKirchhoffův zákon):.

:L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) = U_0 \sin\omega t \, \, \, \, \, tj. i(t) = {U_0 \over Z} (e^{-{t \over \tau}} - \cos\omega t) \, \, \, \, \, tj. +more i(0) = 0 \, \, \, \, \, tj. i(\infty) = {U_0 \over Z} \sin (\omega t-{\pi \over 2}).

kde Z^{2} = R^{2} + (\omega L)^{2} a \omega představuje úhlovou frekvenci střídavé třífázové sítě (\tau viz výše). Uvedené řešení diferenciální rovnice je východiskem výpočtů zkratových poměrů v třífázových elektrizačních soustavách, viz norma ČSN EN 60909-0 ED. +more2 (333022).

RC obvod

RC obvod +morepng|náhled'>Postupné nabíjení resp. vybíjení kondenzátoru napětím U_C po připojení resp. odpojení zdroje. RC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na kondenzátoru vytvoří elektrické pole, které se bude zvětšovat a kondenzátor se začne nabíjet (bude v něm vzrůstat nahromaděný náboj). Napětí na rezistoru je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na kondenzátoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na rezistoru snižovat a na kondenzátoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2. Kirchhoffův zákon):.

:R \, i(t) + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(T) \, dT = U_0.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici prvního řádu:

:R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \, tj. i(t) = {U_0 \over R} \, e^{-{t\over \tau}} \, \, \, \, \, tj. i(0) = {U_0 \over R} \, \, \, \, \, tj. i(\infty) = 0

a po odpojení zdroje napětí se začne energie elektrického pole kondenzátoru měnit v rezistoru na energii tepelnou:

:R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \, tj. i(t) = -{U_0 \over R} \, e^{-{t\over \tau}} \, \, \, \, \, tj. i(0) = -{U_0 \over R} \, \, \, \, \, tj. i(\infty) = 0,

kde časová konstanta je \tau=RC, tj. za čas t=\tau se kondenzátor nabije zhruba na dvě třetiny své kapacity a za čas t=3\tau se kondenzátor nabije na 95% své kapacity, kondenzátor pak lze považovat za nabitý. +more Vybíjení kondenzátoru probíhá reverzně k nabíjení.

Lineární pasivní elektrický RC obvod měnící signál v závislosti na kmitočtu se užívá jako frekvenční filtr, např. horní propust nebo dolní propust.

Přechodové jevy druhého řádu

LC obvod

LC obvod LC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2. +moreKirchhoffův zákon):.

:L\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = U_0.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

:L\frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \, tj. i(t) = i(0) \cos\omega_0 t \, \, \, \, \, - pro U_0=0

kde \omega_0 = {1\over \surd LC} představuje rezonanční úhlovou frekvenci netlumeného kmitání.

RLC obvod

RLC obvod RLC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru (odporu), ideální cívky (indukčnosti) a ideálního kondenzátoru (kapacity) a je modelován rovnicí (2. +moreKirchhoffův zákon):.

:L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = U_0.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

:L\frac{d^2i(t)}{dt^2} + R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = 0 \, \, \, \, \, tj. i(t) = i(0) \, e^{-\alpha t} \cos\omega t \, \, \, \, \, - pro U_0=0 a R \rightarrow 0

a kde \omega = \sqrt {{1\over LC}-\frac{R^2}{4L^2}} = \sqrt {\omega_0^2-\alpha^2} pro \omega_0^2>\alpha^2 představuje úhlovou frekvenci tlumeného kmitání.

Charakteristická rovnice výše uvedené homogenní diferenciální rovnice je ve tvaru:

:\lambda^2 + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{LC} = 0 \, \, \, \, \, tj. \lambda_{1,2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{{\frac{R^2}{4L^2}} - \frac{1}{LC}}

a pro diskriminant uvedené kvadratické rovnice platí:

D > 0 - řešením jsou dva různé reálné kořeny \lambda_1 a \lambda_2 a děj je aperiodický

D = 0 - řešením jsou dva shodné reálné kořeny \lambda_1 = \lambda_2 a děj je na mezi periodicity

D - řešením jsou dva kořeny komplexně sdružené a děj je periodický (viz řešení výše uvedené diferenciální rovnice).

RLC obvod (střídavý)

RLC obvod (střídavý) RLC obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2. +moreKirchhoffův zákon):.

:L\frac{di(t)}{dt} + R \, i(t) + \frac{1}{C} \int\limits_0^t i(\tau) \, d\tau = U_0 e^{j \omega t}.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

:L\frac{d^2i(t)}{dt^2} + R\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C}i(t) = j \omega U_0 e^{j \omega t}

a kde \omega představuje úhlovou frekvenci kmitání střídavého napětí.

Řešení výše uvedené rovnice ve tvaru:

:i(t) = I_0 e^{j \omega t} \, \, \, \, \, tj. \frac{di(t)}{dt} = j \omega I_0 e^{j \omega t} \, \, \, \, \, tj. \frac{d^2i(t)}{dt^2} = - \omega^{2} I_0 e^{j \omega t}

dosaďme do výše uvedené rovnice, pak dostaneme:

:(- \omega^{2} L \, I_0 + j \omega R \, I_0 + \frac{1}{C} \, I_0) = j \omega U_0 \, \, \, \, \, tj. I_0 \, (R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})) = U_0 \, \, \, \, \, tj. I_0 \, Z = U_0.

Související články

Rezonanční obvod * Elektrický obvod * Elektrický zkrat

Externí odkazy

[url=http://hyperphysics. phy-astr. +moregsu. edu/hbase/electric/rlcser. html]Sériový RLC obvod (anglicky)[/url] * [url=https://mse. redwoods. edu/darnold/math55/DEproj/sp14/TejaAluru/paper. pdf]Sériový RLC obvod (anglicky)[/url] * [url=https://www. intelligentsoftware. eu/upload/pdf/MathES. pdf]Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě[/url].

Kategorie:Elektromagnetismus