Rovnoběžník

Rovnoběžník Rovnoběžník ( parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Vlastnosti

Protější strany rovnoběžníku jsou shodné (mají stejnou délku) : a=|AB|=|CD|=c, \qquad d=|AD|=|BC|=b.

Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, součet dvou sousedních úhlů je 180°.

Velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, platí \alpha=\angle DAB = \angle BCD=\gamma,\qquad \beta= \angle ABC = \angle CDA=\delta. Průsečík úhlopříček e, f rovnoběžníku je jeho středem souměrnosti. +more Úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky.

Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček se počítají podle vzorce: :e = |AC| = \sqrt{ a^2+d^2+2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a + h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\, :f = |BD| = \sqrt{ a^2+d^2-2ad \cos \alpha } = \sqrt{(a - h_a \mbox{cotg}\,\alpha)^2 + h_a^2}\,.

Rovnoběžník je středově souměrný, středem souměrnosti je průsečík jeho úhlopříček.

Shrnutí vlastností čtyřúhelníků.

Obsah

Obsah rovnoběžníku je roven: S = a h_a = b h_b = a b \sin\alpha,

kde a=|AB| a b=|AD| jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a h_a je výška ke straně AB, obdobně h_b je výška ke straně AD, \alpha je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.

V rovině

Pokud jsou vrcholy A,B,C,D zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), atd. +more, je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto :S=\left|\det\left(\begin{array}{cc}x_B-x_A & x_D-x_A \\ y_B-y_A & y_D-y_A\end{array}\right)\right|=|(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)|. Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol A s počátkem souřadného systému, tj. A=(0,0), pak tedy :S=|x_By_D-x_Dy_B|. Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného n-rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v n-rozměrném prostoru).

V trojrozměrném prostoru

Pokud jsou vrcholy A,B,C,D zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. A=(x_A,y_A,z_A), B=(x_B,y_B,z_B), atd. +more, a zavedeme-li stranové vektory :\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,z_D-z_A), je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru \mathbf{a}\times\mathbf{b}, kde "\times" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy :S=\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|_2 = \Big((\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\Big)^{1/2} kde "\,\cdot\," značí skalární součin dvou vektorů.

Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy z, tj. :\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0), pak :\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\Big(0,0,(x_By_D-x_Dy_B)-(x_Ay_D-x_Dy_A)+(x_Ay_B-x_By_A)\Big), čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol A s počátkem souřadného systému, tj. A=(0,0,0), pak :\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(y_Bz_D-y_Dz_B,x_Dz_B-x_Bz_D,x_By_D-x_Dy_B) v obecném případě, respektive :\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(0,0,x_By_D-x_Dy_B) v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy z.

Zobecněním vektorového součinu do n-rozměrného prostoru (jedná se o součin (n-1) lineárně nezávislých vektorů délky n, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného (n-1)-rozměrného nadrovnoběžníku v n-rozměrném prostoru.

V n-rozměrném (reálném) prostoru

Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném n-rozměrném prostoru :\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n), pak jeho obsah je dán vztahem :S=\sqrt{\|\mathbf{a}\|_2^2\|\mathbf{b}\|_2^2-\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle^2}=\Big((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2\Big)^{1/2}, kde "\langle\,\,\rangle", resp. "\,\cdot\," značí skalární součin dvou vektorů.

Dosazením :\mathbf{a}=(x_B-x_A,y_B-y_A,0,\ldots,0),\qquad \mathbf{b}=(x_D-x_A,y_D-y_A,0,\ldots,0), opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.

Reference

Literatura

Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, str. 97 * Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, str. 54-55

Související články

Geometrický útvar * Čtyřúhelník * Rovnoběžnostěn * Čtverec

Externí odkazy

Kategorie:Čtyřúhelníky