Vícerozměrný integrál

Technology

12 hours ago

Author

Vícerozměrný integrál je a určitý integrál reálné funkce více proměnných na dané množině. Zapisuje se \int \cdots \int_\mathbf{M}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n , kde funkce f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} se nazývá integrand a \mathbf{M}\subset \mathbb{R} je daná vhodná množina. Tento zápis se často zkracuje na \int_\mathbf{M}\!f(\mathbf{x})\,d^n\mathbf{x}.

Vícerozměrný integrál je různý pojem od vícenásobný integrál, tedy od postupné integrace po složkách, neboť vícenásobné integrály mohou existovat i pro neintegrovatelné funkce. {{Poznámka|Příkladem budiž funkcef(x,y) = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}. +more Její dvojnásobné integrály \int_{x=0}^1\left(\int_{y=0}^1 f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x = \frac{\pi}{4} a \int_{y=0}^1\left(\int_{x=0}^1 f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=-\frac{\pi}{4}jsou různé. A tedy tato funkce není integrovatelná. }}.

Vícerozměrný integrál se často vyčísluje pomocí Fubiniovy věty a substituce souřadnic.

Definice

Motivace

Dvojný integrál jako objem pod plochou. +more Často je nutno udělat součet hodnot nějaké funkce na vícerozměrné množině. Například objem nějakého tělesa, hmotnost tělesa s nekonstantní hustotou, energii nějakého pole. Takovým součtem je právě vícerozměrný integrál.

Dvojný integrál na obdélníku

Pro n > 1 mějme funkci f:\mathbf I = \left \langle a_1, b_1 \right \rangle \times \left \langle a_2, b_2\right \rangle \times \cdots \times \left \langle a_n, b_n\right \rangle \subseteq \R^n \to \R^+.

Rozdělíme-li každý z intervalů \left \langle a_i, b_i \right \rangle na konečnou množinu disjunktních podintervalů \left \langle a_{i,j}, b_{i,j} \right \rangle, získáme dělení n-rozměrného intervalu na systém intervalů \mathbf I_j = \left \langle a_{1,j}, b_{1,j} \right \rangle \times \left \langle a_{2,j}, b_{2,j}\right \rangle \times \cdots \times \left \langle a_{n,j}, b_{n,j}\right \rangle, pro které platí I=I_1\cup I_2\cup \cdots \cup I_m.

(n+1)-rozměrný objem pod n-rozměrnou plochou (grafem funkce f) na intervalu I \subseteq \R^n můžeme aproximovat Riemannovým součtem:

:\sum_{k=1}^m f(X_k)\, \operatorname{\sigma}(I_k),

kde jje prvek intervalu and je míra intervalu (tedy součin délek jednotlivých jednorozměrných intervalů \left \langle a_i, b_i \right \rangle) .

Řekneme, že funkce je Riemannovsky integrovatelná, jestliže existuje konečná limita přes všechna dělení intervalu na podintervaly míry maximálně :

S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(X_k)\, \operatorname{\sigma} (C_k).

Jestliže je is Riemannovsky integrovatelná, tak se nazývá (vícerozměrný) Riemannův integral funkce na intervalu a píše se : \int \cdots \int_I\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n .

Na měřitelné množině

Buď funkce f omezená na neprázdné měřitelné množině \mathbf{M} \subseteq \R^2. Řekneme, že funkce f je na množině \mathbf{M} (Riemannovsky) integrovatelná, je-li funkce \mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M} definovaná předpisem \left ( \mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M} \right ) \left (x_1,x_2,\ldots,x_n \right ) = \begin{cases} f \left (x_1,x_2,\ldots,x_n \right ), & \mbox{pro }x \in \mathbf{M} \\ 0, & \mbox{pro }x \in \R \smallsetminus \mathbf{M} \end{cases}{{Poznámka|\mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M} je definována v celém \R^n. +more}}.

integrovatelná na nějakém uzavřeném vícerozměrném intervalu \mathbf{J} \subseteq \R^n takovém, že \mathbf{M} \subseteq \mathbf{J}.

Vícenásobným (Riemannovým) integrálem funkce f na množině \mathbf{M} pak rozumíme číslo \int \cdots \int_\mathbf{M}\, f\left (x_1,x_2,\ldots,x_n\right )\,dx_1 \. \cdots dx_n = \int \cdots \int_\mathbf{J}\, \left ( \mathbf{M} \cdot \chi_\mathbf{M} \right )f\left (x_1,x_2,\ldots,x_n\right )\,dx_1 \. +more\cdots dx_n. {{Poznámka|Tato definice nezávisí na volbě intervalu \mathbf{J} takového, že \mathbf{M} \subseteq \mathbf{J}^n. }}.

Pro prázdnou množinu definujeme \int \cdots \int_\empty \, f\left (x_1,x_2,\ldots,x_n\right )\,dx_1 \!\cdots dx_n = 0 pro každou funkci f: \R^n \to \R.

Speciální případy

V případě, že M \subseteq \R^2, tak \iint_M f(x,y)\, dx\, dy se nazývá dvojný integrál funkce na , dále pro M \subseteq \R^3 je \iiint_M f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz trojný integrál funkce na .