Druhá odmocnina

paraboly souměrné podle osy x. Druhá odmocnina je speciálním typem obecné odmocniny. Jde o nejběžnější typ odmocniny, proto se často označuje pouze jako odmocnina. Pro libovolný matematický objekt s definovanou operací umocňování (číslo, matici, funkci...) je druhá odmocnina z a, označovaná jako \sqrt{a}, definována jako objekt b, pro který platí b^2 = a.

Druhá odmocnina má rovněž geometrický význam. Druhá odmocnina z čísla S (značí se jako\sqrt{S}) je délka strany čtverce o obsahu S. +more Objev druhé odmocniny vedl ve starověku k objevu iracionálních čísel.

Definice

Obor reálných čísel

Druhá odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla a \in \mathbb{R}_0^{+} jako nezáporné reálné číslo b, pro které platí, že b \cdot b=a. Druhou odmocninu značíme jako b=\sqrt{a}.

Jedná se o inverzní funkci k druhé mocnině v nezáporných číslech; druhá mocnina není mimo nezáporná čísla prostou funkcí, proto ji nelze invertovat na celém jejím definičním oboru. Přestože tak například vedle 2 \cdot 2=4 platí také (-2) \cdot (-2)=4, druhá odmocnina je podle definice vždy nezáporné číslo, proto \sqrt{4}=2. +more Takto ovšem nelze omezit množinu kořenů rovnice obsahující druhou mocninu - rovnice x^2 = a má pro a > 0 dva kořeny x = \pm \sqrt{a}, např. vztahu x^{2}-4=0 tak vyhovují x_{1}=2 i x_{2}=-2.

Obor komplexních čísel

Druhá odmocnina komplexního čísla a+bi je rovna

\sqrt{a+bi} = \pm\left[\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} + i(\sgn{b})\sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}\right].

V komplexních číslech je definována odmocnina i pro záporná reálná čísla x \in \mathbb{R}^- - zjednodušením obecného vzorce lze získat \sqrt{x} = \pm i \textstyle{\sqrt

x

}. Takto lze získat komplexní řešení kvadratické rovnice se záporným diskriminantem. +more Pro obecné reálné číslo x \in \mathbb{R} lze vzorec zjednodušit na \sqrt{x} = \pm\sqrt{\frac{x + |x|}{2}} \pm i\sqrt{\frac[wiki_table=05e63d55]} \pm i (\sgn{b}) \textstyle{\sqrt{\frac{1}{2}|b|}}.

Odvození vzorce pro komplexní čísla

Vyjádříme \sqrt{a+bi} pomocí dvou nezáporných čísel x, y \in \mathbb{R}_0^+ jako x + iy\sgn{b}. Definiční vztah (x + iy \sgn{b})^2 = a+bi roznásobíme na x^2 - y^2 + 2ixy \sgn{b} = a+bi, rovnici rozdělíme na reálnou a imaginární část:

x^2-y^2=a

xy = \textstyle{\frac{1}{2}}|b|

a řešíme vzniklou soustavu dvou rovnic v reálných číslech.

Vztahy mezi druhými odmocninami nezáporných čísel

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, pak platí: : \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}}

: \sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} \qquad (a \ge b)

: \sqrt{a \pm \sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a + \sqrt{(a^2 - b)}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{(a^2 - b)}}{2}} \qquad (a^2 \ge b)

Vztah mezi druhou odmocninou a přirozeným logaritmem

\sqrt{a} = e^{ln \sqrt{a}} = e^{\frac{1}{2}\ln a}, kde ln a je přirozený logaritmus čísla a

Hodnoty pro přirozená čísla

Hodnotou druhé odmocniny z čísel 1, 4, 9, 16. je přirozené číslo. +more Ve všech ostatních případech je hodnotou číslo iracionální. :

	\scriptstyle \sqrt {1}	\scriptstyle =\,	1	\scriptstyle \sqrt {6}	\scriptstyle \approx	2,449	\scriptstyle \sqrt {11}	\scriptstyle \approx	3,317	\scriptstyle \sqrt {16}	\scriptstyle =\,	4
\scriptstyle \sqrt {2}	\scriptstyle \approx	1,414	\scriptstyle \sqrt {7}	\scriptstyle \approx	2,646	\scriptstyle \sqrt {12}	\scriptstyle \approx	3,464	\scriptstyle \sqrt {17}	\scriptstyle \approx	4,123
\scriptstyle \sqrt {3}	\scriptstyle \approx	1,732	\scriptstyle \sqrt {8}	\scriptstyle \approx	2,828	\scriptstyle \sqrt {13}	\scriptstyle \approx	3,606	\scriptstyle \sqrt {18}	\scriptstyle \approx	4,243
\scriptstyle \sqrt {4}	\scriptstyle =\,	2	\scriptstyle \sqrt {9}	\scriptstyle =\,	3	\scriptstyle \sqrt {14}	\scriptstyle \approx	3,742	\scriptstyle \sqrt {19}	\scriptstyle \approx	4,359
\scriptstyle \sqrt {5}	\scriptstyle \approx	2,236	\scriptstyle \sqrt {10}	\scriptstyle \approx	3,162	\scriptstyle \sqrt {15}	\scriptstyle \approx	3,873	\scriptstyle \sqrt {20}	\scriptstyle \approx	4,472

.

Odhad

Pro racionální číslo větší než 1 a menší než 100 odhadujeme nejbližší nižší a vyšší odmocninu celého čísla. : 2 \sqrt{7} 2 = 4, 32 = 9)

Číslo větší než 100 rozdělíme do skupin po dvou číslicích od základního místa (od řádu jednotek včetně). Počet skupin určuje počet číslic výsledku. +more První skupina zleva nemusí být úplná a odhaduje se postupem pro čísla menší než 100 s následným doplněním nul do počtu zbývajících skupin. : 200 \sqrt{52744} \sqrt{5} . 100).

Obdobně postupujeme s kladnými čísly menšími než 1, kdy je shodné dělení do skupin s počtem číslic výsledku za desetinnou čárkou. Pro tato čísla se případná neúplná skupina první zprava doplní připsáním nuly zprava. +more : 0,06 \sqrt{0{,}004} \sqrt{40} : 100).

Iterativní metody výpočtu

Výpočet odmocniny čísla odmocňováním dvěma vychází beze zbytku či se zbytkem. Pokud není druhá odmocnina celočíselná, lze u zbytku zvolit přesnost pomocí počtu desetinných míst výsledku. +more Následují příklady ilustrují výpočet pro oba případy.

Beze zbytku

; \sqrt{645{,}16}

: a) od základního místa se rozdělí číslo na skupiny po dvou číslicích. Případná neúplná skupina zprava doplní připsáním nuly. +more Počet skupin určí počet číslic výsledku od základního místa. :: \sqrt{6'45{,}16'} (výsledek bude desetinné číslo od řádu desítek) : b) odhadneme nejbližší nižší odmocninu celého čísla z první skupiny zleva. (\sqrt{6} = 2 a v řádu desítek zapíšeme do výsledku ⇒ 2. ,. ) : c) od první skupiny odmocněnce odečteme druhou mocninu číselného výsledku bez ohledu na desetinnou čárku výsledku z předchozího kroku (b). Přidáme další skupinu. (6 - 2 . 2 = 2; tedy 2'45 ⇒ 245 zbytek) : d) z čísla z kroku (c) oddělíme poslední číslici a vzniklé číslo dělíme dvojnásobkem neúplného výsledku (b) (24 : (2 . 2) ≈ 6). Výsledný podíl zapíšeme do výsledku v řádu jednotek, jen pokud rozdíl zbytku je kladné číslo. Jinak musíme výsledek snížit o jedna a znova vypočítat rozdíl zbytku. Rozdíl zbytku se vypočte ze zbytku (c) zmenšeného o složeninu dvojnásobku neúplného výsledku s výsledným podílem vynásobený výsledným podílem. Tedy 245 - (4'6 . 6) 2 = 645,16.

Se zbytkem, např. odmocnina s přesností na tři desetinná místa

; \sqrt{7}

: a) \sqrt{7{,}00'00'00'} (výsledek bude desetinné číslo od řádu jednotek) : b) \sqrt{7} = 2 a v řádu jednotek zapíšeme do výsledku ⇒ 2,. ) : c) 7 - 22 = 3; tedy 3'00 ⇒ 300 : d) 30 : (2 . +more 2) ≈ 7; tedy 300 - (4'7 . 7) 1) přidání další skupiny k rozdílu 24'00 ⇒ 240 : (2 . 26) ≈ 4; tedy 2400 - (52'4 . 4) = 304 a 4 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,64. : e2) přidání další skupiny k rozdílu 304'00 ⇒ 3040 : (2 . 264) ≈ 5; tedy 30400 - (528'5 . 5) = 3975 (zbytek) a 5 zapíšeme do výsledku ⇒ 2,645.

Zkouška: 2,6452 = 6,996025 + 0,003975 = 7. Poznámka: zopakováním postupu (provede se další iterace) dostaneme výsledek en), který je zpřesněním výsledku předchozí iterace en-1).

Odkazy

Související články

Odmocnina * Umocňování

Externí odkazy

[url=https://apod.nasa.gov/htmltest/rjn_dig.html]Velmi přesné hodnoty druhých odmocnin některých přirozených čísel[/url]

Kategorie:Algebra