Elektrický potenciál

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v elektrostatickém poli. Jedná se o potenciál elektrického pole, tj. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného místa o nulovém potenciálu (tzv. vztažný bod) do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod nebo povrch Země. Rozdíl potenciálů dvou bodů je roven napětí mezi danými body.

Značka: \varphi

Jednotka SI: volt, značka V

Definice

Potenciál bodového náboje Q umístěného v počátku soustavy souřadnic lze vyjádřit vztahem: :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}

\boldsymbol{r}

+ \varphi_0, kde \varepsilon je permitivita prostředí, \boldsymbol{r} je polohový vektor potenciálu \varphi a \varphi_0 je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade \varphi_0 = 0.

Potenciál objemově rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem: :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}

\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime

\mathrm{d}V, kde V je objem, přes který se integruje a \rho je objemová hustota náboje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru daného objemu, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy diskrétních bodových nábojů. +more Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová. Totéž platí pro plošně resp. lineárně rozložené náboje:.

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem: :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\boldsymbol{r}^\prime)}

\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime

\mathrm{d}S, kde S je plocha, přes kterou se integruje a \sigma je plošná hustota náboje.

Potenciál lineárně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem: :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\boldsymbol{r}^\prime)}

\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime

\mathrm{d}l, kde l je délka, přes kterou se integruje a \tau je lineární hustota náboje.

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako :\varphi = \frac{W}{Q}, kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.

Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy n bodových nábojů Q_1 až Q_n, jejichž polohové vektory jsou \boldsymbol{r}_1 až \boldsymbol{r}_n:

:\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}

\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i

+ \varphi_0.

Potenciál jednoho z bodových nábojů Q_i ze soustavy nábojů Q_1 až Q_n vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

:\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}^n\frac{Q_j}

\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j

.

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme:

:\operatorname{div}\boldsymbol{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0},

tj. pro Laplaceův operátor \Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad} dostaneme Poissonovu rovnici \Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, která je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon elektrostatiky. +more Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tj. \rho=0, zjednoduší se rovnice na Laplaceova rovnici \Delta\varphi = 0.

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tj.:

:\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\boldsymbol{r}).

Potenciál elektrostatického pole pak lze chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tj. +more \varphi_0=0, pak lze psát:.

:\varphi(\boldsymbol{r}) = -\int_\infty^\boldsymbol{r} \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}.

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tj. \varphi=\mbox{konst}, se nazývá ekvipotenciální plocha. +more Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciální ploše. To lze ukázat diferenciací vztahu \varphi=\mbox{konst}, tj. :.

:\mathrm{d}\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = 0,

kde \mathrm{d}\boldsymbol{r} leží v rovině tečné k ekvipotenciální ploše. Vektory \boldsymbol{E} a \mathrm{d}\boldsymbol{r} jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. +more \boldsymbol{E} je kolmé k ekvipotenciální ploše.

Literatura

Související články

Elektrické napětí * Elektrický náboj * Elektrické pole

Externí odkazy

[url=http://wiki.matfyz.cz/wiki/8._Maxwellovy_rovnice_a_jejich_z%C3%A1kladn%C3%AD_d%C5%AFsledky#Maxwell.C5.AFv_proud]Maxwellův proud na WIKI Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy[/url]

Potenciál