Cesko.wiki Elektrický potenciál
Author
Albert FloresElektrický potenciál je fyzikální veličina, která vyjadřuje energii, kterou má jednotkový náboj v daném elektrickém poli. Je definován jako práce nutná k přemístění jednotkového náboje z nekonečna do daného bodu. Elektrický potenciál se zpravidla označuje písmenem φ a měří se v voltách. Je skalární veličinou, tedy nemá směr ani smysluplný směr. Elektrický potenciál je důležitým konceptem v elektrostatice a elektrodynamice. Například v elektrostatice udává elektrický potenciál, jaká práce se musí vykonat na jednotkový náboj, aby se dostal do daného bodu v elektrickém poli. V elektrodynamice je pak elektrický potenciál zadán jako skalární pole, které popisuje elektrostatické silové pole s danými počátečními a koncovými podmínkami. Elektrický potenciál je definován pomocí Coulombova zákona, který udává, že elektrostatická síla mezi dvěma bodovými náboji je úměrná jejich velikostem a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti mezi nimi. Tato síla je pak rovna negativnímu gradientu elektrického potenciálu. Elektrický potenciál je taktéž důležitý pro práci s elektromagnetickým polem a je definován jako skalární pole, jehož gradient (vektorový operátor) dává intenzitu elektrostatického pole. Elektrický potenciál má mnoho aplikací v technických oborech, například v elektroenergetice, elektronice a telekomunikacích. Je také klíčovým pojmem pro pochopení jevů v atomové fyzice a kvantové mechanice.
Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.
Výpočet
Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako :\varphi = \frac{W}{Q}, kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.
Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0, kde \boldsymbol{r} je polohový vektor bodu prostoru a \varphi_0 je Integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade \varphi_0 = 0.
Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje \rho lze vyjádřit vztahem :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}
| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime |
|---|
Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje \rho nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. +more Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.
Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\boldsymbol{r}^\prime)}
| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime |
|---|
Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\boldsymbol{r}^\prime)}
| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime |
|---|
Poissonova rovnice
Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme :\operatorname{div}\boldsymbol{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor \Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}, lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice :\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}
Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.
Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. \rho=0, zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova :\Delta\varphi = 0
Vlastnosti
Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy n bodových nábojů Q_1 až Q_n, jejichž polohové vektory jsou \boldsymbol{r}_1 až \boldsymbol{r}_n. :\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}
| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i |
|---|
Potenciál jednoho z bodových nábojů Q_i ze soustavy nábojů Q_1 až Q_n vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako :\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}
| \boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j |
|---|
Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn. :\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\boldsymbol{r})
Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. +more \varphi_0=0, potom lze podle předchozího vztahu psát :\varphi(\boldsymbol{r}) = -\int_\infty^\boldsymbol{r} \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}.
Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.
Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. \varphi=\mbox{konst}, se nazývá ekvipotenciální plocha.
Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu \varphi=\mbox{konst}, tzn. +more :\mathrm{d}\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = 0, kde \mathrm{d}\boldsymbol{r} leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory \boldsymbol{E} a \mathrm{d}\boldsymbol{r} jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. \boldsymbol{E} je kolmé k ekvipotenciální ploše.