Cesko.wiki Eukleidovská konstrukce
Author
Albert FloresPostup narýsování pravidelného šestiúhelníku Eukleidovskou konstrukcí
Eukleidovská konstrukce neboli konstrukce pomocí kružítka a pravítka označuje konstrukci geometrických objektů (například úhlů) pouze pomocí idealizovaného pravítka a kružítka. O pravítku se předpokládá, že má nekonečnou délku, jen jednu hranu a žádné značky pro měření, o kružítku se předpokládá, že může nakreslit jakkoli velikou kružnici.
Tento pojem se vyskytuje především v zadání matematických úloh. Úkolem bývá určit, zda z daného objektu je možné pomocí Eukleidovské konstrukce vytvořit jiný objekt, který má dané vlastnosti. +more Příkladem jsou klasické řecké úlohy trisekce úhlu, kvadratura kruhu a duplikace krychle. Lze dokázat, že ani jednu z těchto úloh pomocí Eukleidovské konstrukce vyřešit nelze.
Základní konstrukce
Každá Eukleidovská konstrukce se skládá z opakování pěti základních konstrukcí s pomocí bodů, úseček a kružnic, které byly vytvořeny již v předchozích krocích. Celkový počet kroků musí být konečný. +more Mezi základní konstrukce patří.
* Vytvoření úsečky protínající dva body
* Vytvoření kružnice se středem v jednom bodě tak, aby protínala druhý bod
* Vytvoření bodu, který leží v průsečíku dvou protínajících se úseček
* Vytvoření jednoho nebo dvou bodů ležících v průsečíku kružnice a úsečky (pokud se protínají).
* Vytvoření jednoho nebo dvou bodů ležících v průsečíku dvou kružnic (pokud se protínají)
Například rovnostranný trojúhelník lze vytvořit ze dvou různých bodů A a B následujícím postupem. # Vytvoříme úsečku protínající body A a B # Vytvoříme dvě kružnice, jednu se středem v bodě A protínající B, druhou se středem v bodě B protínající A. +more # Vytvoříme dva body (C a D) v průsečíku obou kružnic # Vytvoříme dvě úsečky, jednu protínající A a C, druhou protínající B a C Výsledkem je rovnostranný trojúhelník s vrcholy A, B a C.
Konstruovatelná čísla
Eukleidovskou konstrukcí lze následovně vytvořit osy souřadnic: Mějme dva body A a B. Vytvořením přímky protínající A a B získáme osu x s nulou v bodě A a jednotkou v bodě B. +more Spuštěním kolmice (ta je také konstruovatelná) v bodě A vytvoříme osu y. Vytvoříme kružnici se středem v A protínající B a v průsečíku s osou y získáme jednotku i na druhé ose.
Bodům (x,y) v tomto Eukleidovském prostoru lze přiřadit komplexní čísla x + y i. Bod (x,y) je konstruovatelný, pokud ho lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit pouze z počátečních bodů A a B. +more Lze ukázat, že takto lze zkonstruovat všechny body x + y i pro racionální x a y. Zároveň lze pro každá konstruovatelná a a b zkonstruovat a + b, a - b, a × b a a / b. Konstruovatelná čísla tedy tvoří těleso, které je podtělesem komplexních čísel. Navíc platí, že pro každé konstruovatelné a lze zkonstruovat i \sqrt{a}. Všechna konstruovatelná čísla jsou algebraická, proto není konstruovatelné žádné transcendentní číslo jako např. \pi a proto není možná kvadratura kruhu.
Konstruovatelné úhly
Lze dokázat, že existuje bijekce mezi konstruovatelnými úhly a body konstruovatelnými na konstruovatelných kružnicích. Konstruovatelné úhly tvoří komutativní grupu se sčítáním modulo 2π. +more Úhel je konstruovatelný právě když číslo odpovídající jeho tangensu (nebo ekvivalentně i sinu a kosinu) je konstruovatelné. Například pravidelný sedmnáctiúhelník je konstruovatelný, protože.
\cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }
jak dokázal Carl Friedrich Gauss.
Konstruovatelné pravidelné mnohoúhelníky
Nakreslení pravidelného pětiúhelníku Eukleidovskou konstrukcí
Některé pravidelné mnohoúhelníky lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit jednoduše, jiné ne. To vedlo k otázce, zda lze takto vytvořit všechny mnohoúhelníky. +more Carl Friedrich Gauss v roce 1796 ukázal, že pravidelný n-úhelník lze Eukleidovskou konstrukcí vytvořit, pokud liché dělitele n jsou různá Fermatova prvočísla. Gauss se správně domníval, že tato podmínka je nejen nutná, ale i postačující, ale dokázat se to podařilo až Pierru Wantzelovi v roce 1837.
Konstrukce pěti a desetiúhelníku: 1. úsečka A,B se středem S. +more 2. kružnice k o poloměru AS. 3. Na AS bod O tak, že AO=OS 4. bodem S kolmici na AB, v průsečíku k s kolmicí pak body C a D 5. z O kružnicí o poloměru OC protnout SB a průsečík označit E. 6. úsečka CE je strana pětiúhelníku a SE desetiúhelníku.
Literatura
HEATH, Thomas. The Thirteen Books of Euclid's Elements. +more New York: Dover Publications, 1956. [url=http://archive. org/details/euclid_heath_2nd_ed]Dostupné online[/url]. * SERVÍT, František. Eukleidovy základy. Praha: 1906. [url=http://commons. wikimedia. org/wiki/File:Eukleides_Servit. pdf]Dostupné online[/url]. (česky) * ŠÍR, Zbyněk. Řecké matematické texty. Praha : Oikoymenh, 2011. 570 s. . (česky) * GÁL, KAMARÝT. Opakování středoškolské matematiky.
Související články
Externí odkazy
[url=http://aleph0.clarku.edu/%7Edjoyce/java/elements/toc.html]Anglické zpracování Eukleidových Základů na internetu[/url]