Dirichletova funkce

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Dirichletova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom není spojitá v žádném bodě. Nabývá hodnoty 1, pokud je argumentem racionální číslo, nebo 0, pokud je argumentem iracionální číslo.

Definice a graf

270x270pixelů Dirichletova funkce D(x) je definována následujícím předpisem:

:D(x):=\begin{cases} 1,&\mbox{pokud}\ x\ \in \Q \\ 0,&\mbox{pokud}\ x\ \in \R - \Q \end{cases}

Ekvivalentně lze definovat: D(x):=\lim_{m\rightarrow\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}\cos^{2n}(m!\pi x).

Náznak grafu Dirichletovy funkce je znázorněn na obrázku vpravo. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. +more století k pochybám, zda Dirichletova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Vlastnosti

Dirichletova funkce: * není spojitá v žádném bodě * nemá dokonce v žádném bodě limitu a to ani jednostrannou * není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě * nabývá maxima v každém racionálním bodě a minima v každém iracionálním bodě * na žádném intervalu pro ni není definován Newtonův ani Riemannův integrál * Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes libovolný interval je roven 0