Keplerova rovnice

Technology

12 hours ago

Author

numerické excentricity Keplerova rovnice je transcendentní rovnice pro výpočet pohybu nebeských těles po eliptické dráze. Je důsledkem prvních dvou Keplerových zákonů, které Johannes Kepler publikoval roku 1609, a zní

:M = E - e \cdot \sin E.

Keplerova rovnice popisuje vztah mezi polohou nebeského objektu vůči hmotnému středu v jednom z ohnisek elipsy udanou ve formě pomocné veličiny excentrické anomálie E, a času zadaného pomocí #Střední anomálie|střední anomálie M. Parametr e je numerická excentricita eliptické oběžné dráhy.

Keplerova rovnice se používá např. při výpočtu časové rovnice (tj. +more rozdílu mezi středním slunečním časem a skutečným slunečním časem). Dílčí úlohou je stanovit pravou anomálii Země na její dráze kolem Slunce.

+more images (1)

Stručně

Mějme souřadnicový systém s počátkem ve Slunci a osou x mířící k perihelu. Pak lze tuto trajektorii parametrizovat

x=a (\cos E -e.a)

y=b \sin E ,

kde a a je hlavní poloosa elipsy, b vedlejší poloosa elipsy, e je numerická excentricita, e.a je vzdálenost ohniska od středu elipsy, úhel E je excentrická anomálie.

Keplerova rovnice má pak tvar:

E - e \sin E = \frac{2\pi}{U} (t-t_P)

Kde U perioda oběhu a t_P čas průchodu perihelem. Konečně t je čas, ve kterém se zajímáme o polohu planety. Pravou stranu poslední rovnice nazýváme střední anomálie a značíme M.

Odvození

Vzdálenosti:	Body:
a\. : velká poloosa	\mathrm{C}\. : střed
b\. : malá poloosa	\mathrm{S}\. : ohnisko (Slunce)
e\. \cdot\. a\. : lineární excentricita	\mathrm{Z}\. : Periapsis
Úhly:
T\. : pravá anomálie	\mathrm{P}\. : objekt (planeta)
E\. : excentrická anomálie	\mathrm{X}\. : pomocný bod objekt
M\. : střední anomálie	\mathrm{Y}\. : fiktivní objekt

]] Druhý Keplerův zákon zvaný též zákon ploch, vyplývá ze zachování momentu hybnosti v problému dvou těles, který se v astronomii nazývá také Keplerův problém. Předpokládá, že na nebeský objekt \mathrm{P} působí pouze radiální síla z hmotného středu \mathrm {S}. Tato síla podléhá zákonu převrácených čtverců (je úměrná 1/r^2, stejně jako Newtonovská gravitační síla), což znamená, že celkový tok síly všemi kulovými plochami se středem \mathrm {S} je stejný (tj. nezávislý na poloměru koule r). Za těchto podmínek je podle prvního Keplerova zákona dráha planety kuželosečka. Keplerova rovnice je vzorec vyjadřující větu o zákonu ploch pro eliptickou dráhu. Ve vzorci je zakomponován čas t ve formě střední anomálie M (tak nazvané Keplerem) a poloha astronomického objektu \mathrm{P} na své oběžné dráze (keplerovské elipse) ve formě (Keplerem tak nazvané) pravé anomálie T, tj. jejich úhlová vzdálenost od periapsidy \mathrm {Z}, (prostřednictvím pomocné veličiny zvané excentrické anomálie E) v jednoznačně definovaném vztahu.

Veličina e je numerická excentricita elipsy.

Použití střední anomálie

Rovnoměrné plynutí času lze vyjádřit pohybem fiktivní tělesa (na obrázku \mathrm{Y}) po kruhové dráze s konstantní úhlovou rychlostí. K tomuto účelu se používá „kružnice opsaná“ kolem keplerovské elipsy, po které obíhá \mathrm{Y}. +more t_P je okamžik, kdy se jak bod \mathrm{Y} tak skutečný objekt \mathrm{P} nachází v periapsidě \mathrm{Z}. Oba body mají tutéž oběžnou dobu a oba současně procházejí při každém celočíselném násobku oběžné doby periapsidou a při každém polovičním násobku apoapsidou.

K rovnici \mathrm{(2)} Okamžitá poloha bodu \mathrm{Y} je reprezentována úhlem (všechny následující úhly jsou uvedeny v úhlové míře) s vrcholem ve středu pomocné kružnice (i elipsy) \mathrm{C} ve vztahu pro periapsidu \mathrm{Z} udaný jako střední anomálie M označuje: :\mathrm{(1)}\quad M= 2 \pi \frac {t-t_P} {U} . +more Při tom je U oběžná doba a {2 \pi} / U střední úhlová rychlost. V okamžiku t_P, kdy se nebeský objekt nachází v periapsidě, je nejblíže k barycentru v ohnisku \mathrm{S} elipsy.

Podle druhého Keplerova zákona opíše průvodič \overline{\mathrm{SP}} tělesa \mathrm{P} za stejný časový interval stejnou plochu. Protože časový interval (v otáčkách) je úměrný podílu délky oblouku k obvodu opsané kružnice, je podíl eliptické dílčí plochy \mathrm{SPZ} k ploše elipsy stejně velký jako podíl oblouku \mathrm{CYZ} k obvodu opsané kružnice: :\mathrm{(2)}\quad \frac{\operatorname{S}(\mathrm{CYZ})}{\operatorname{S}(\mathrm{SPZ})} = \frac{\pi a^2}{\pi a b} = \frac ab . +more kde a je délka velké poloosy elipsy a také poloměr kružnice opsané, a b je délka malé poloosy elipsy. Elipsa a opsaná kružnice si jsou podobné s poměrem b/a, tedy elipsu můžeme v každé rovnoběžce brát jako opsanou kružnici „stlačenou“ na malou poloosu v tomto poměru.

K rovnici \mathrm{(4)}

K rovnici \mathrm{(3)}

Použití excentrické anomálie

Projekcí pozice planety \mathrm{P} na kružnici opsanou eliptické oběžné dráze ve směru kolmém na hlavní poloosu je pomocný bod \mathrm{X}. Úhel s vrcholem ve středu \mathrm{C} kružnice a rameny tvořenými periapsidou \mathrm{Z} a polopřímkou vedenou ze středu bodem \mathrm{X}, Kepler nazval excentrická anomálie E. +more Z podobnosti plyne následující vztah: :{{Nowrap|\mathrm{(3)}\quad \operatorname{S}(\mathrm{SXZ}) = \frac ab\operatorname{S}(\mathrm{SPZ}) . }} Po dosazení rovnice \mathrm{(2)} do rovnice \mathrm{(3)} dostáváme: :\mathrm{(4)}\quad \operatorname{S}(\mathrm{SXZ}) = \operatorname{S}(\mathrm{CYZ}) .

Výsledek: Keplerova rovnice

K rovnici \mathrm{(5)} a \mathrm{(6)} K rovnici \mathrm{(7)}

Iplicitní

Pomocí rovnice \mathrm{(4)} nalezneme implicitní vyjádření požadovaného vztahu mezi excentrickou anomálií (bod \mathrm{X}) a střední anomálií (bod \mathrm{Y}). Explicitní vztah vyplývá až po/kým následující krok:

Explicitní

Pokud průvodič \overline{\mathrm{CY}} opíše v jedné periodě U plný úhel 2 \pi a opsaná plocha je \pi a^2, pak opíše do doby t úhel M o faktor M / 2 \pi menší plochu: :\mathrm{(5)}\quad \displaystyle\operatorname{S}(\mathrm{CYZ}) = \frac{a^2}{2} M . Podobně analyzujeme průvodiče \overline{\mathrm{CX}} v úhlu E a dostáváme: :\mathrm{(6)}\quad \displaystyle \operatorname{S}(\mathrm{CXZ}) = \frac{a^2}{2} E . +more Plocha \mathrm{CXZ} se skládá z plochy \mathrm{CXS} a \mathrm{SXZ}: :\mathrm{(7)}\quad \displaystyle\operatorname{S}(\mathrm{CXZ})=\operatorname{S}(\mathrm{CXS}) + \operatorname{S}(\mathrm{SXZ}) . Dílčí plocha \mathrm{CXS} (na obrázku ohraničená světle modře) je přímočarý ohraničený trojúhelník se základnou e \cdot a a výškou a \cdot \sin E : :\mathrm{(8)}\quad \displaystyle \operatorname{S}(\mathrm{CXS}) = \frac{e a \cdot a \sin E}2 = \frac{a^2}{2} \, e \sin E . e je numerická excentricita elipsy, zatímco e a = \sqrt{a^2 - b^2} je lineární excentricita, což je vzdálenost ohniska elipsy od jejího středu.

Dílčí plocha \mathrm{SXZ} je podle rovnice \mathrm{(4)} stejně velká jako plocha \mathrm{CYZ}, jejíž hodnotu udává rovnice \mathrm{(5)}.

Dosazením rovnic \mathrm{(6)}, \mathrm{(8)} a \mathrm{(5)} do rovnice \mathrm{(7)} dostáváme :\mathrm{(9)}\quad \displaystyle\frac{a^2}2E=\frac{a^2}{2} e \sin E+\frac{a^2}2 M .

z čehož plyne Keplerova rovnice: :E - e \cdot \sin E = M .

Metody řešení Keplerovy rovnice

Řešení Keplerovy rovnice není možné vyjádřit v uzavřeném tvaru jako funkci excentrické anomálie E(t). Existují různé metody, jak vypočítat E(t) ze střední anomálie M(t) = 2 \pi \frac {t-t_P} {U}:

E-M je lichá periodická funkce proměnné M s periodou 2\pi. Je tedy možné ji rozvinout ve Fourierovu řadu, která konverguje pro všechny M\in\R a e\in\R, a platí : F(M) := E-M = e\cdot \sin E = 2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{J_n(n e)}{n} \sin(n M) kde J_n je Besselova funkce prvního druhu n-tého řádu.

Z hodnoty F(M^\prime) pro M^\prime\in \langle 0,\pi\rangle je možné snadno vypočítat všechny ostatní hodnoty F(M): :F(M)=s \cdot F\bigl(s \cdot M^\prime\bigr) kde k:=\bigl\lfloor \tfrac{M}{\pi}\bigr\rfloor \in\Z (závorka znamená celou část čísla), s:=(-1)^k\in\{1,-1\} a M^\prime:=M - \bigl(k+\tfrac{1-s}2\bigr)\pi \in \langle -\pi,+\pi\rangle , takže s \cdot M^\prime\in \langle 0,+\pi\rangle . Kořen E funkce :f(E) = E - e \cdot \sin E - M je řešením Keplerovy rovnice. +more Nulový bod je možné numericky vypočítat pomocí Newtonovy metody následujícím způsobem: : E_{n+1} = E_{n} - \frac{f(E_{n})}{f'(E_{n})} = E_{n} - \frac{ E_{n} - e \sin(E_{n}) - M }{ 1 - e \cos(E_{n})} . Pro většinu eliptických drah je vhodná počáteční hodnota E_0 = M. Pro excentricity 08 je vhodnější E_0 = \pi .

Stabilní, ale pomalu konvergující metoda vychází z Banachovy věty o pevném bodě: :E_0 = M, \qquad E_{n+1} = M + e \cdot \sin E_n .

Pro malé excentricity e je možné E aproximovat také následujícím způsobem: :E = M + e \cdot \sin M + \frac{1}{2} e^2 \cdot \sin 2M Přitom chyba je řádu \mathcal{O}(e^3); v případě Země, jejíž dráha má excentricitu e = 0{,}0167 je chyba v omezeném časovém rámci menší než na 5. desetinném místě.

Řešením pro e pomocí Lagrangeovy inverzní transformace je Maclaurinova řada pro M :\begin{array}{ll}\textstyle E = \frac{1}{1-e} M \. \. +more\. \. &- \frac{e}{(1-e)^4 } \frac{M^3}{3. } + \frac{(e + 9 e^2)}{(1-e)^7 } \frac{M^5}{5. } - \frac{(e + 54 e^2 + 225 e^3) }{(1-e)^{10} } \frac{M^7}{7. } \\ &+ \frac{(e + 243 e^2 + 4131 e^3 + 11025 e^4) }{(1-e)^{13} } \frac{M^9}{9. } - \frac{(e + 1008 e^2 + 50166 e^3 + 457200 e^4 + 893025 e^5) }{(1-e)^{16} } \frac{M^{11}}{{11}. } \\ &+ \frac{(e + 4077 e^2 + 520218 e^3 + 11708154 e^4 + 70301925 e^5 + 108056025 e^6) }{(1-e)^{19} } \frac{M^{13}}{{13}. } \mp \cdots , \end{array}.

pro |M| konverguje lineárně. Je-li tedy 0 \leq e \lessapprox 0031803066 , pak konverguje pro |M| \leq \pi lineárně. +more uvádí koeficienty polynomů v čitateli s proměnnou e.

Important

Výstřednost kuželosečky

Řešení některých dílčích úloh Keplerova problému

Střední anomálie → pravá anomálie

Pro stanovení pozice nebeského tělesa na keplerovské dráze v okamžiku t nebo pro střední anomálii M(t) odpovídající tomuto okamžiku je třeba zjistit pravou anomálii T(t). Pomocí Keplerovy rovnice nejdříve určíme excentrickou anomálii E(t) (viz výše). +more Pak lze spočítat pravou anomálii T(t) podle následující vztahů: :\operatorname{tg} \frac{T}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \cdot \operatorname{tg} \frac{E}{2} nebo :\cos T = \frac {a \cos E - a e} {a - a e \,\cos E} = \frac { \cos E - e} {1 - e \cos E} Zde je a e = \sqrt{a^2 - b^2} lineární excentricita eliptické dráhy. Pro získání správné hodnoty T je nutné rozlišovat případy 0 \le E \le \pi a \pi \le E \le 2\pi.

Poznámky * Jmenovatel druhého vzorce udává přímou vzdálenost r astronomického objektu od ohniska s: ::r = a - a e \, \cos E * Vzorce se mohou mírně podle \operatorname{tg} \tfrac{E}{2} nebo \cos E aufgelöst stát se, ono vyplývá: ::\operatorname{tg} \frac{E}{2} = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \cdot \operatorname{tg} \frac{T}{2} :a ::\cos E = \frac {a \cos T + a e} {a + a e \cos T} = \frac { \cos T + e}{1 + e \cos T}

Pravá anomálie → střední anomálie

Pro astronomické těleso na keplerovské dráze s pravou anomálií T je třeba určit příslušnou střední anomálii M(T) pro okamžik t(T). Jde o úlohu s opačným zadáním než jaká je #Pravá anomálie|uvedena výše.

Pro výpočet excentrické anomálie z času T platí :E = 2\operatorname{arctg}_{\tfrac{T}{2}}\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} \cdot \operatorname{tg} \frac{T}{2}\right) .

Dolní index \tfrac{T}{2} u \operatorname{arctg} vrací hodnotu arkustangenty do správného kvadrantu, stejného v jakém je (\tfrac{T}{2}) (viz Arkustangens s Lageparameter). Keplerova rovnice udává E příslušnou střední anomálii :M(t)=E(t)-\frac{180^\circ}{\pi} \cdot e \cdot \sin E(t) .

Z lineární rovnice pro tento element dráhy dostáváme:

:t = \frac{M-M_0}{\dot{M}}

Příklad na získání časového okamžiku z pravé aomálie Čas průchodu čtyřmi vrcholy elipsy zemské dráhy:

Elementy dráhy platné pro planetu Zemi jsou uvedené v článku Oběžná dráha Země kolem Slunce. Referenční použitý čas T se počítá v juliánských staletích. +more Zde se však t počítá ve dnech, takže čas T je třeba vydělit 36525, aby bylo zachováno \dot{M} a \dot{e}. Přitom se zanedbávají velmi pomalé změny numerické excentricity (\dot{e}=0). Nulový čas T a v důsledku toho také t - je 1. leden 2000, 12:00 UT. Pravá anomálie při průchodu Země perihelem v roce 2000 je rovna 360° (ne nulová. ), v roce 2001 rovna 720° atd.

perihel 2000	jarní vedlejší vrchol	afel	podzimní vedlejší vrchol	perihel 2001
Pravá anomálie T/^\circ	360	450	540	630
čas t/\text{d}	2,511	91,883	185,140	278,398
časový rozestup \Delta t/\text{d}		89,372	93,258	93,258

Vzdálenost mezi dvěma středními průchody perihelem (anomalistický rok) je J_{an}=360^\circ/\dot{M} =365,260\text{ d}. Takto spočítané střední časy průchodu perihelem se mohou o několik dnů lišit od skutečných (především kvůli rušení Měsícem).

Pravá anomálie → poloměr dráhy

Pozice astronomického tělesa na jeho keplerovské dráze v čase t je určena jeho pravou anomálií. Příslušnou vzdálenost - poloměr dráhy - lze spočítat následujícím způsobem:

:r = r(T(t)) = r(t) = a \cdot \frac{1-e^2}{1+e \cdot \cos T} : r\!: vzdálenost (poloměr dráhy) : a\!: velká poloosa elipsy : e\!: numerická excentricita : T\!: pravá anomálie

Pravá anomálie → dráhová rychlost

Časová změna pravé anomálie odpovídá úhlové rychlosti \omega vzhledem ke gravitačnímu centru. Normálová složka rychlosti plyne tedy přímo ze vzorce : v_\perp = \dot T \cdot r. +more radiální rychlost je časová změna poloměru dráhy: : v_r = \dot r Pro dráhovou nebo orbitální rychlost v pak plyne z Pythagorovy věty v^2= v_\perp^2 + v_r^2 : v = v(T(t), r(t)) = v(t) = \sqrt{ (\dot T \cdot r)^2 + \dot r^2} : v\. : dráhová rychlost : T\. : pravá anomálie : r\. : poloměr dráhy.

Snáze lze dráhovou rychlost určit pomocí hodografu \vec {\dot r} ze zákona ploch: : v^2 = \frac {C^2}{p} \left( \frac {2}{r} - \frac {1}{a} \right) : C\. : specifický úhlový moment jako centrální parametr pohybu : C = v_\mathrm{max}\cdot r_\mathrm{min} = v_\mathrm{min}\cdot r_\mathrm{max} : p\. +more: parametr elipsy jako typický element dráhy : p = 2 \cdot \frac{r_\mathrm{min}\cdot r_\mathrm{max}}{r_\mathrm{min} + r_\mathrm{max}} = \frac{b^2}{a} : a\. : velká poloosa : b\. : velká poloosa : \frac {C^2}{p} = G \cdot M s Gravitační konstanta G a hmotnost M centrálního tělesa.

Z tohoto vyplývá minimální a maximální rychlost v apocentru a pericentru eliptické dráhy: : v_\mathrm{max}^2 = \frac {C^2}{p\cdot a}\cdot\frac{1 + e}{1 - e} \qquad v_\mathrm{min}^2 = \frac{C^2}{p\cdot a} \cdot\frac{1 - e}{1 + e} : e\!: numerická excentricita

Další vztahy

Mezi pravou anomálií T, excentrickou anomálií E a střední anomálií M existují také četné další vztahy, které byly používány v historii nebeské mechaniky. Pravou anomálii vypočítat bez okliky přes Keplerovu rovnici, přímo ze speciální diferenciální rovnice pro M, což je zajímavé pro postupné numerické aproximace.

Pro malé excentricity lze také aproximovat pravou anomálii T ze střední anomálie M: :T=M+ 2 e \sin(M)+ \frac{5}{4}e^2 \sin(2M)+\mathcal{O}(e^3). Rozdíl T − M se nazývá rovnice středu.

Použití Keplerovy rovnice pro výpočet časové rovnice

Výpočtem časové rovnice se v tomto článku zabýváme podrobněji, protože její výpočet se v některých detailech liší od výpočtu v hlavním článku. Vychází z oběžných prvků Slunce, které jsou extrapolovány od 1. +more ledna 2000 12:00 UTC do dne, pro který se má časová rovnice vypočítat. Pro období do roku 2025 se zde používají předem stanovené tzv. základní sluneční hodnoty pro 1. leden Extrapolace pro kalendářní den v aktuálním roce je tak odpovídajícím způsobem kratší. Zde se používá přímo Keplerova rovnice, tam s rovnicí středu, která je z Keplerovy rovnice odvozena, což tam výpočet zkracuje.

V časové rovnici se používá poloha Země na její eliptické dráze kolem Slunce ve 12:00 UTC v určený den roku. Ta se vypočítá pomocí Keplerovy rovnice jako excentrická anomálie E a převede se na pravou anomálii T. +more Po přechodu na geocentrický pohled na svět se výsledek nerovnoměrného orbitálního pohybu (první příčina časové rovnice) přepočítá na čas odvozený od Slunce (pravý sluneční čas WOZ).

Kvantitativní, tedy numerické zpracování časové rovnice je v podstatě - totiž při z eliptický pohybu po dráze Země vyplývající části časové rovnice - použitím Keplerovy rovnice. Především stal se s tím/v důsledku místo Země na její eliptické dráze (také keplerovská dráha) k dané/předpovědět okamžik nastaven.

Definice časové rovnice

První definice: :\mathrm{(10)}\quad \mathrm{ZG} = \mathrm{WOZ} - \mathrm{MOZ}

Hodnota skutečného místního času (WOZ) případně středního místního času (MOZ) odpovídá aktuální/příslušné poloze skutečného resp. fiktivního středního Slunce na obloze (z geocentrického pohledu). +more Protože denní doba souvisí s otáčením Země okolo své osy, nezajímá nás deklinace, ale pouze aktuální rektascenze Slunce. Střední Slunce, které představuje rovnoměrně plynoucí čas, obíhá kolem nebeského rovníku. Časová rovnice je úměrná rozdílu mezi rektascenzí \alpha_M fiktivního středního a \alpha skutečného pravého Slunce.

Druhá definice: :\mathrm{(11)}\quad \text{ZG} = 4 (\alpha_M - \alpha) \quad [\text{min}]

Faktor 4 vyplývá z toho, že objekt, jehož rektascenze je o 1° větší, projde poledníkem o 4 minuty později. Pořadí obou hodnot je opačné, protože směr pro hodinový úhel \tau (jemuž odpovídá WOZ a MOZ) a rektascenze \alpha jsou vzájemně opačné.

Metoda

K určení okamžiku t pro zjištění rektascenze \alpha (rovnice \mathrm{(11)}) Slunce odpovídá rovníkové délce Země v heliocentrickém pohledu, kterou lze snadno vypočítat z její ekliptikální délky \lambda (druhý obrázek). Pomocí Keplerovy rovnice se určí pravá anomálie V (první obrázek), z níž se pak změnou vztažného bodu určí \lambda.

Použití Keplerovy rovnice

Okamžité anomálie Země (v čase t) na její eliptické dráze kolem Slunce:

V - pravá anomálie, M - střední anomálie, E - excentrická anomálie

B - Slunce, X - Země, Y - fiktivní Země, P - Perihel, A - Afel, K - poloha Země 1. ledna

vlevo dole: V a M jako funkce času

+more5'>Přechod z heliocentrické eliptické oběžné dráhy Země (vlevo, s pravou Zemí X a fiktivní Zemí Y) na geocentrickou dráhu Slunce (eliptická dráha vpravo s pravým Sluncem S a fiktivním Sluncem S').

„Převedení“ pravého Slunce k rovníku: stanovení jeho rektrascenze α z ekliptikální délky λ

S″: Střední Slunce na rovníku

Střední anomálie:

V rovnici \mathrm{(1)} obecně formulovaná střední anomálie v souvislosti s časovou rovnicí je: :\mathrm{(12)}\quad M(t) = \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot (t-t_P) ::J_{\text{an}}: anomalistisches rok mezi dvěma průchody Perihels ::t_P: okamžik průchodu perihelem

Při průchod periheliem má střední anomálie hodnotu: :\mathrm{(13)}\quad M_0 = -\frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t_P

U časové rovnice je obvyklé, že hodnoty kalendářního roku odpovídají Hvězdářské ročence k vydávat. Jako nulový bod pro t se používá 1. +more leden 12:00 (UT) příslušného roku, takže aktuálně pro t_P jako 2 až 3 dne a z ní pro M_0 jako 2° až 3° platit. Wegen der Schalttagregelung im Kalender schwanken beide Werte innerhalb der Vierjahresperiode schwach: ΔtP ≈ ¾Tag, ΔM0 ≈ ¾°. Stalo se zvykem zveřejňovat vždy novou hodnotu pro M_0 jako takzvané roční konstanty.

S M_0 a t od 1. leden 12:00 (UT) stal se z rovnice (12): :M(t) = M_0 + \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t

Keplerova rovnice: :M(t)=E(t)-\frac{180^\circ}{\pi} \cdot e \cdot \sin E(t) S dané/předpovědět okamžik odpovídající střední anomálie M a excentricitu oběžné dráhy Země e stal se s pomoc Keplerova rovnice excentrická anomálie E určený.

Pravá anomálie:

Při výpočtech časové rovnice se pro pravou anomálii používá většinou označení V (místo T jako výše).

Excentrická anomálie E v čistě geometrickém pohledu převádí elipsu na jí opsanou kružnici (první obrázek) následujícím způsobem: pro pravou anomálii V:

:\operatorname{tg}\left(\frac{V(t)}{2}\right) = \kappa \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{E(t)}{2}\right) :\mathrm{(14)}\quad \kappa = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} … konstanta elipsy

Keplerův problém je vyřešen stanovením pravé anomálie Země. Dokončení výpočtu časové rovnice je v následující části.

Pravá anomálie Země → rektascenze Slunce

Pravá anomálie Země → ekliptikální délka Země → ekliptikální délka Slunce:

Při pohledu ze Země se oběh Země kolem Slunce projevuje zdánlivým pohybem Slunce po ekliptice, což je průsečík roviny oběžné dráhy Země se směrovou sférou obíhající kolem Země jako středu (viz druhý obrázek). Dieser Zusammenhang erlaubt umgekehrt, die ekliptikale Länge \lambda und den Jarní bod F als Bezugspunkt (sowohl für L als auch für \alpha) auf die Erdbahn zurückzuspiegeln (siehe nebenstehende Abbildung, rechts → links). +more Ekliptikální délka Země a ekliptikální délka Slunce jsou tedy synonyma s označením \lambda.

Referenčním bodem pro ekliptikální délku (a také rektascenzi) je podle obecného zvyku jarní bod. Ekliptikální délka \lambda (t) Slunce se získá tak, že k perihelu oběžná dráha Země získaný úhel V(t) úhel L mezi perihel P a bod jarní rovnodennosti odpovídající místo (F) se sečte:

:\mathrm{(15)}\quad \lambda(t) = V(t) + L Hodnota L je záporná. Při téměř konstantních základních veličinách je L ta, které se s časem kvůli pomalému přibližování bodu jarní rovnodennosti případně bod (F) k perihelu mění nejvíce. +more Nepoužívá se tedy jako takzvané roční konstanty L_0 nový nastavený, ale neustále se mění podle následující rovnice: :\mathrm{(16)}\quad L(t) = L_0 + \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t bod jarní rovnodennosti a perihel se přibližuje s \approx\tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}}. J_\text{tr} je tropický rok (čas mezi dvěma po sobě následujícími průchody jarním bodem případně bodem (F)). S přihlédnutím k rovnici \mathrm{(16)} lze místo rovnice \mathrm{(15)} psát: :\mathrm{(17)}\quad \lambda(t) = V(t) + L_0 + \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t Hodnota L_0 je záporná.

Ekliptikální délka Slunce → rektascenze Slunce:

Časová rovnice je způsobena tím, že Země obíhá kolem Slunce po elipse, že zemská osa není kolmá k rovině zemské dráhy, a kvůli změnám směru zemské osy vůči Slunci.

Rektascenzi Slunce \alpha lze určit např. pomocí obecně známých rovnic pro převod souřadnic nebo z následujícího jednoduchého vztahu v odpovídajícím pravoúhlém sférickém trojúhelníku (viz třetí obrázek) z ekliptikální délka \lambda: :\mathrm{(18)}\quad \alpha(t) = \operatorname{arctg} ( \operatorname{tg} \lambda(t) \cdot \cos \varepsilon ), kde \varepsilon je úhel sklonu zemské osy: \varepsilon = 2344^\circ.

Rektascenze středního Slunce

Pohyb středního Slunce S″ (třetí obrázek vpravo) na rovníku ilustruje rovnoměrně plynutí času stejně jako pohyb fiktivní Země (bod Y) po oběžné dráze. Jeho pohyb má být co nejtěsněji spojen s dráhou skutečného Slunce, aby přibližně „zprůměroval“ jeho skutečný pohyb. +more Toho je možné dosáhnoyt pomocí následující definice: :\mathrm{(19)}\quad \alpha_M(t) = L(t) + M(t) Pokud člověk/lidé časové změna z L se zanedbá, platí také: :\left(20\right)\quad \alpha_M(t) = L_0 + M_0 + \tfrac{360^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t.

Časová rovnice

Pro použití časové rovnice \mathrm{(11)} je třeba získat rektascenzí \alpha_M a \alpha jsou nalezeny. :\mathrm{(11)}\quad \text{ZG} = 4 (\alpha_M - \alpha) \quad [\text{min}]

Příklad

Vypočítejte časovou rovnici pro den 2. dubna 2015, 12:00 UT (t = 91 dne).

Roční konstanty pro rok 2015 jsou:Tyto „základní hodnoty“ platí pro 1. leden 2015 12:00 UT. +more Jejich pomalá změna není v průběhu roku 2015 zohledněna. Změny kumulované v tomto období se objeví až v ročních konstantách pro rok 2016. Výjimkou je L_0. Rovnice \mathrm{(8)} obsahuje permanentní změnu L(t).

Extrapolace ročních konstant se provede ze základních hodnot pro roky 2000 příp. 1900 následujícím způsobem (DGC-Handbuch, S. +more 47): :M_0 = 357{,}5256^\circ + 35999{,}0498^\circ\cdot T/36525 :J_{tr} = (365{,}24219878 + 6{,}16 \cdot 10^{-8}\cdot J)\text{ Tage} :J_{an} = (365{,}25964124 + 3{,}04 \cdot 10^{-8}\cdot J)\text{ Tage} :e_0 = 0{,}016709 - 4{,}2 \cdot 10^{-7}\cdot T/36525 :\varepsilon_0 = 23{,}439291^\circ - 0{,}013004^\circ\cdot T/36525 :L_0 = 282{,}9400^\circ + 1{,}7192^\circ\cdot T/36525 T počet dní od 1. ledna 2000 12:00 UT; J je počet let od roku 1900. Úhly M_0 a L_0 se musí počítat modulo 360°, a musí ležet v intervalu −180° a +180°. Roční konstanty (např. pro rok 2015) se takto nazývají, protože se používají pouze pro jeden rok, ke kterému se vztahují. Kromě toho platí také pro data ve vzdálených letech (např. pro rok 2050 nebo 1950), aniž by došlo k významné ztrátě přesnosti časové rovnice. Čas t potom nabývá odpovídajících vysokých kladných nebo záporných hodnot; Uvedené schéma výpočtu však zůstává použitelné beze změny. Při určování V a \alpha by měly být použity takové hodnoty arkustangenu \frac{E}{2} nebo \lambda, které leží nejblíž.

:M_0= -2{,}3705^\circ :J_{an}= 365{,}259991 \text{ Tage} :J_{tr} = 365{,}242907 \text{ Tage} :e = 0{,}016703 :\varepsilon = 23{,}43734^\circ :L_0 = -76{,}8021^\circ

Postup výpočtu:

::::M(t) = M_0 + \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t = 87{,}3190^\circ :\mathrm{(16)}\quad L(t) = L_0 + \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t = -76{,}7978^\circ ::::M(t)=E(t)-\frac{180^\circ}{\pi} \cdot e \cdot \sin E(t) \quad\rightarrow\quad E(t) = 88{,}2756^\circ :::::\textstyle \kappa = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} = 1{,}0168445 ::::\operatorname{tg}\left(\frac{V(t)}{2}\right) = \kappa \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{E(t)}{2}\right) \quad\rightarrow\quad V(t) = 89{,}2325^\circ :\mathrm{(17)}\quad \lambda(t) = V(t) + L(t) = 12,4347^\circ :\mathrm{(18)}\quad \alpha(t) = \operatorname{arctg} ( \operatorname{tg} \lambda(t) \cdot \cos \varepsilon) = 11{,}4369^\circ :\mathrm{(19)}\quad \alpha_M(t) = L(t) + M(t) = 10{,}5212^\circ :\mathrm{(11)}\quad \text{ZG}(t) = 4\frac {\text{min}}{^\circ} \cdot (\alpha_M(t) - \alpha(t)) = -3{,}6629 \text{ min} = -3\text{ min}\text{ 40}\text{ sec}

Časová rovnice má pro 2. dubna 2015, 12:00 UT hodnotu:

:\text{ZG}(t = 91\text{ dní}) = -3\text{ min}\text{ 40}\text{ sec}

Početní příklad 2

Vypočítejte časovou rovnici pro 1. května 2015, 12:00 UT (t = 120 dne).

Výpočet:

::::M(t) = M_0 + \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t = 115,9014^\circ :\mathrm{(16)}\quad L(t) = L_0 + \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t = -76,7966^\circ ::::M(t)=E(t)-\frac{180^\circ}{\pi} \cdot e \cdot \sin E(t) \quad\rightarrow\quad E(t) = 116,7560^\circ Řešení bylo nalezeno pomocí iterací. :::::\textstyle \kappa = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} = 1,0168446 ::::\operatorname{tg}\left(\frac{V(t)}{2}\right) = \kappa \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{E(t)}{2}\right) \quad\rightarrow\quad V(t) = 117,6074^\circ :\mathrm{(17)}\quad \lambda(t) = V(t) + L(t) = 40,81075^\circ :\mathrm{(18)}\quad \alpha(t) = \operatorname{arctg} ( \operatorname{tg} \lambda(t) \cdot \cos \varepsilon) = 38,38843^\circ :\mathrm{(19)}\quad \alpha_M(t) = L(t) + M(t) = 39,10477^\circ :\mathrm{(11)}\quad \text{ZG}(t) = 4\frac {\text{min}}{^\circ} \cdot (\alpha_M(t) - \alpha(t)) = 2,8654\text{ min} = 2\text{ min}\text{ 52}\text{ sec}

Časová rovnice má pro 1. květen 2015, 12:00 UT hodnotu:

:\text{ZG}(t = 120\text{ Tage}) = 2\text{ min}\text{ 52}\text{ sec}

Hodnoty časové rovnice pro průchod charakteristickými body dráhy

Hodnoty časové rovnice pro průchod Země charakteristickými body své dráhy (případně Slunce na ekliptice) jsou z kalendáře a v důsledku toho nezávislé na roční konstantě M_0: okamžiky začátku jara, léta, podzimu a zimy, a okamžiku průchodu přísluním a odsluním.

	začátek jara	začátek léta	začátek podzimu	začátek zimy	perihel	afel
λ/°	0	90	180	270	L0	L0 + 180
ZG/min	−7,44	−1,74	+7,48	+1,70	−4,50	−4,50
tP/d **)	76,234	168,990	262,641	352,485	0	182,621

*) Hodnota platí pro rok 2004 s L0 = −76,99° a Jtr =365,2428 dne.

**) Uvedené časy se vztahují k okamžiku průchodu periheliem, ne k 1. lednu 12:00 UT jako ve #Řešení některých dílčích úloh Keplerova problému|výše uvedeném příkladu

Jejich výpočet je snazší než výpočet pro obecný časový okamžik, protože není třeba řešit Keplerovu rovnici E=f(M). Z dané ekliptikální délky \lambda jednoho z charakteristických bodů lze snadno zjistit jak pravou anomálii (rovnice \mathrm{(15)}) tak excentrickou anomálii. +more Z excentrické anomálie a z přeuspořádané Keplerovy rovnice M=f(E) vyplývá střední anomálie, tj. oběžný bod fiktivní střední Země. Ekliptikální délka perihelu přičtená ke střední anomálii (rovnice \mathrm{(19)}) je hledaná střední rektascenze \alpha_M (menšenec v časové rovnici \mathrm{(11)}). Pravá rektascenze \alpha (menšitel) je pro body od jara do zimy identická s jejich ekliptikální délkou \lambda. Pouze v perihelu a afelu dává transformace souřadnic (rovnice \mathrm{(18)}) malé rozdíly hodnot.

Pokud se výpočet začne s danou ekliptikální délkou nebo danou pravou anomálií, získáme kromě časové rovnice také čas od průchodu Země perihelem. Je to čas, který představuje střední anomálii a stává se mezivýsledkem pro výpočet střední anomálie M pomocí rovnice, kterou je třeba odpovídajícím způsobem přeuspořádat \mathrm{(12)}.

Tento přístup je také někdy doporučován pro obecnou práci při používání tabulek časové rovnice. Tím se ušetří časově náročné řešení Keplerovy rovnice, ale hodnoty pro požadované časové okamžiky lze však nalézt pouze metodou pokusů a omylů nebo interpolaci (pokud to hustota hodnot umožňuje).