Integrální kritérium konvergence

harmonickou řadu. Protože plocha pod křivkou pro x \in \langle 1, \infty) je nekonečná, celková plocha obdélníků musí být také nekonečná.

Integrální kritérium konvergence je v matematice metoda pro zjišťování, zda nekonečná řada s nezápornými členy konverguje. Kritérium objevili Colin Maclaurin a Augustin Louis Cauchy, proto jej někteří autoři nazývají Maclaurinovo-Cauchyovo kritérium.

Tvrzení

Uvažujme celé číslo a nezápornou funkci definovanou na neomezeném intervalu \langle N, \infty), na kterém je funkce monotonně klesající. Pak nekonečná řada

:\sum_{n=N}^\infty f(n)

konverguje k nějakému reálnému číslu právě tehdy, když nevlastní integrál

:\int_N^\infty f(x)\,dx

je konečný. Pokud integrál diverguje, pak řada diverguje také.

Poznámka

Pokud je nevlastní integrál konečný, pak důkaz také poskytuje dolní a horní mez součtu nekonečné řady:

{{Vzorec|\int_N^\infty f(x)\,dx\le\sum_{n=N}^\infty f(n)\le f(N)+\int_N^\infty f(x)\,dx|1}}

Důkaz

Důkaz využívá srovnávací kritérium pro porovnání členu f(n) s integrálem funkce f na intervalech \langle n - 1, n), resp. \langle n, n + 1).

Je-li je monotonně klesající funkce, pak

: f(x)\le f(n)\quad\forall x\in\langle n,\infty)

a

: f(n)\le f(x)\quad\forall x\in\langle N,n\rangle.

a proto pro každé celé číslo platí

{{Vzorec| \int_n^{n+1} f(x)\,dx \le\int_{n}^{n+1} f(n)\,dx =f(n)|2}}

a pro každé celé číslo ,

{{Vzorec| f(n)=\int_{n-1}^{n} f(n)\,dx \le\int_{n-1}^n f(x)\,dx. |3}}

Sumací pro všechna od do , dostaneme z

: \int_N^{M+1}f(x)\,dx=\sum_{n=N}^M\underbrace{\int_n^{n+1}f(x)\,dx}_{\le\,f(n)}\le\sum_{n=N}^Mf(n)

a z

: \sum_{n=N}^Mf(n)\le f(N)+\sum_{n=N+1}^M\underbrace{\int_{n-1}^n f(x)\,dx}_{\ge\,f(n)}=f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.

Zkombinování těchto dvou odhadů dostaneme

:\int_N^{M+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=N}^Mf(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.

Pro jdoucí k nekonečnu dostáváme .

Použití

Harmonická řada : \sum_{n=1}^\infty \frac1n

diverguje, protože aplikací přirozeného logaritmu, jeho primitivní funkce a použitím základní věty integrálního počtu dostaneme : \int_1^M\frac1n\,dn=\ln n\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty \quad\text{pro }M\to\infty.

A naopak, řada : \zeta(1+\varepsilon)=\sum_{x=1}^\infty \frac1{x^{1+\varepsilon}}

(srovnejte s Riemannovou funkcí zeta) konverguje pro každé díky pravidlu pro integraci mocniny : \int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx =-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M= \frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr) \le\frac1\varepsilon Z dostaneme horní odhad : \zeta(1+\varepsilon)=\sum_{x=1}^\infty \frac1{x^{1+\varepsilon}}\le\frac{1+\varepsilon}\varepsilon,

který lze porovnávat s nějakými určitými hodnotami Riemannovy funkce zeta.

Hranice mezi divergencí a konvergencí

Výše uvedené příklady s harmonickou řadou vyvolávají otázku, zda existují monotonní posloupnosti tak, že klesá k nule rychleji než ale pomaleji než v tom smyslu, že : \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n}=0 \quad\text{a}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n^{1+\varepsilon}}=\infty

pro každé a zda odpovídající řada stále diverguje. Pokud nalezneme takovou posloupnost, můžeme položit podobnou otázku, v níž má roli , atd. +more Tímto způsobem je možné zkoumat hranici mezi divergencí a konvergencí nekonečné řady.

Při použití integrálního kritérium konvergence můžeme ukázat (jak je uvedeno níže), že pro každé přirozené číslo řada {{Vzorec| \sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\ln_k(n)} |4}} stále diverguje (srovnejte s důkazem, že suma převrácených hodnot prvočísel diverguje pro ) ale {{Vzorec| \sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots\ln_{k-1}(n)(\ln_k(n))^{1+\varepsilon}} |5}} konverguje pro každé . Zde označuje -násobnou aplikaci přirozeného logaritmu definovanou rekurzivně vztahem : \ln_k(x)= \begin{cases} \ln(x)&\text{pro }k=1,\\ \ln(\ln_{k-1}(x))&\text{pro }k\ge2. +more \end{cases}.

označuje nejmenší přirozené číslo takové, že je definovaná -násobná aplikace funkce a , tj. s použitím tetrace nebo Knuthova zápisu : N_k\ge \underbrace{e^{e^{\cdot^{\cdot^{e}}}}}_{k\ e'\text{s}}=e \uparrow\uparrow k

Pro zjištění divergence řady pomocí integrálního kritéria si všimneme, že opakovaným použitím řetízkového pravidla : \frac{d}{dx}\ln_{k+1}(x) =\frac{d}{dx}\ln(\ln_k(x)) =\frac1{\ln_k(x)}\frac{d}{dx}\ln_k(x) =\cdots =\frac1{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)},

tedy : \int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)} =\ln_{k+1}(x)\bigr|_{N_k}^\infty=\infty.

Pro zjištění konvergence řady si všimneme, že podle pravidla o derivování mocniny, řetízkového pravidla a výše uvedeného výsledku : -\frac{d}{dx}\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon} =\frac1{(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}\frac{d}{dx}\ln_k(x) =\cdots =\frac{1}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}},

tedy : \int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}} =-\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon}\biggr|_{N_k}^\infty přičemž dává meze pro součet nekonečné řady .

Odkazy

Reference

Související články

Kritéria konvergence řad * Konvergence (matematika) * Přímé srovnávací kritérium * Lebesgueova věta * Eulerův-Maclaurinův vzorec * Limitní srovnávací kritérium * Věta o monotonní konvergenci

Literatura

Kategorie:Augustin Louis Cauchy Kategorie:Integrální počet Kategorie:Kritéria konvergence