Ortogonální funkce

V matematice o dvou funkcích f(x) a g(x) řekneme, že jsou ortogonální, pokud jsou splněny tyto podmínky * f(x) a g(x) patří do nějakého prostoru funkcí, což je vektorový prostor s bilineární formou * definičním oborem prostoru funkcí je nějaký interval * f \neq g * existuje bilineání forma definovaná jako integrál součinu funkcí na tomto intervalu: *: \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx . * \langle f, \, g \rangle = 0

Ortogonální funkce mohou tvořit nekonečnou bázi prostoru funkcí s podobnými vlastnostmi jako má báze vektorů v konečněrozměrném prostoru. Výše uvedený integrál je konceptuálně ekvivalentem skalárního součinu vektorů; dva vektory jsou vzájemně nezávislé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin nulový.

Předpokládejme, že \{ f_0, f_1, \ldots\} je posloupnost ortogonálních funkcí s nenulovými L2-normami \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} . Pak posloupnost \left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\} tvořená funkcemi s L2-normou jedna tvoří ortonormální posloupnost. +more Aby bylo možné definovat L2-normu, musí být integrál omezený, což vyžaduje, aby funkce byly integrovatelné na čtverci.

Trigonometrické funkce

Několik sad ortogonálních funkcí se používá jako báze pro aproximaci funkcí. Například sinové funkce sin nx a sin mx jsou ortogonální na intervalu x \in (-\pi, \pi), pokud m \neq n a n a m jsou kladná celá čísla. +more Pak :2 \sin \left(mx\right) \sin \left(nx\right) = \cos \left(\left(m - n\right)x\right) - \cos\left(\left(m+n\right) x\right), a integrál součinu dvou funkcí sinus bude mít nulovou hodnotu. Složením těchto ortogonálních funkcí s kosinovými funkcemi vzniknou trigonometrické polynomy, které lze použít pro aproximaci libovolné funkce na daném intervalu pomocí Fourierovy řady.

Polynomy

Pokud vyjdeme od posloupnosti monomů \left\{1, x, x^2, \dots\right\} na intervalu \langle -1,1\rangle a použijeme Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci, dostaneme posloupnost Legendrových polynomů. Jiným systémem ortogonálních polynomů jsou přidružené Legendrovy polynomy.

Při studiu ortogonálních polynomů hrají důležitou roli váhové funkce w(x), které se vyskytují v bilineární formě: : \langle f,g\rangle = \int w(x) f(x) g(x)\,dx . Pro Laguerrovy polynomy na (0,\infty) je váhová funkce w(x) = e^{-x}.

Fyzikové i teoretici v teorii pravděpodobnosti používají Hermitovy polynomy na intervalu (-\infty,\infty) s váhovou funkcí w(x) = e^{-x^2} nebo w(x) = e^{- x^2/2}.

Čebyševovy polynomy jsou definovány na intervalu \langle -1,1\rangle a používají váhové funkce w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} nebo w(x) = \sqrt{1 - x^2}.

Zernikeovy polynomy jsou definovány na jednotkovém kruhu a mají ortogonální jak radiální tak angulární složky.

Binární-hodnocený funkce

Walshovy funkce a Haarovy vlnky jsou příkladem ortogonálních funkcí s diskrétním oborem hodnot.

Racionální funkce

Graf Čebyševových racionálních funkcí řádu n=0,1,2,3 a 4 mezi x=0. +more01 a 100. Legendrovy a Čebyševovy polynomy jsou posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu \langle -1,1\rangle. Někdy jsou potřeba posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu \langle 0,\infty). V tomto případě je pohodlné transformovat argument do intervalu \langle -1,1\rangle použitím Cayleyovy transformace. Tento postup vede k rodině racionálních ortogonálních funkcí, které se nazývají Legendrovy racionální funkce a Čebyševovy racionální funkce.

V diferenciálních rovnicích

Řešení lineární diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami lze často zapsat jako vážený součet ortogonálních funkcí, které jsou řešením této rovnice (nazývaných také vlastní funkce), což vede k zobecněným Fourierovým řadám.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Vlastní vektory a vlastní čísla * Hilbertův prostor * Karhunenova-Loèvova věta * Lauricellova věta * Wannierovy funkce

Externí odkazy

[url=http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html]Ortogonal Functions[/url] na MathWorld.

Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Typy funkcí