Cesko.wiki Vlnková transformace
Author
Albert FloresVlnková transformace je matematická metoda, která převede signál z jednoho prostoru (většinou časového) do jiného (vlnkového). Tato transformace je velmi užitečná při analýze a zpracování signálů, zejména ve zpracování obrazu a zvuku. Jedním z nejznámějších příkladů vlnkové transformace je Fourierova transformace, která převede signál z prostoru časového do prostoru frekvenčního. Existuje však mnoho dalších typů vlnkových transformací, které mají své vlastní vlastnosti a aplikace. Vlnková transformace je založena na analýze signálu pomocí tzv. vlnkové báze, což jsou funkce, které mají specifické vlastnosti. Tyto funkce jsou zpravidla definovány pomocí matematických rovnic a mohou mít různé tvarové charakteristiky. Vlnková transformace má mnoho využití v různých oblastech, jako je zpracování obrazu, komprese dat, detekce vzorů a analýza signálů. Je to jedna z klíčových metod v oblasti digitálního zpracování signálů a má široký význam v moderní technologii a vědě.
Spojitá vlnková transformace signálu s náhlou změnou frekvence. Byla použita vlnka symlet s 5 nulovými momenty. Vlnková transformace ( WT) je integrální transformace, která umožňuje získat časově-frekvenční popis signálu. Lze na ni nahlížet také jako na prostředek k dekorelaci dat, rozkladu signálu na nezávislé stavební kameny.
Její přirozenou aplikací je #Princip použití|zjištění polohy a délky trvání daného jevu. Dále se uplatňuje například při detekci nespojitostí signálu a jeho derivací, identifikaci okamžitých frekvencí, odstranění šumu, extrakci příznaků nebo kompresi signálů.
Mezi oblasti její aplikace patří například analýza tekutin (turbulentní toky, atmosférické děje), analýza vibrací (detekce závad strojů), nedestruktivní testování (detekce prasklin), lékařství (detekce QRS komplexů v signálech EKG, evokovaných potenciálů v EEG, analýza korelací v sekvencích DNA), ekonomika (analýza burzovních indexů), geofyzika (analýza seismických signálů), astronomie, studium plazmatu a mnohé další.
Definice spojité transformace
Vlnková transformace spojitého signálu f je definována jako : \begin{align} \left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](a,b) &= \langle f, \psi_{a,b} \rangle \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \. f(t) \, \psi^{\ast}_{a,b}(t) \, \mathrm{d}t \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \. +more f(t) \, \frac{1}{\sqrt{a}} \psi^{\ast}\left({{t-b}\over{a}}\right) \, \mathrm{d}t \\ &= f * \psi_{a}^{\ast}(b) \\ &= \frac{1}{2\pi} \langle \hat{f}, \hat{\psi}_{a,b} \rangle , \end{align} kde * \psi\, je tzv. mateřská vlnka a \psi_{a,b}\, jejím roztažením a posunutím vytvořené vlnky, které tvoří jádro transformace, * a\, značí měřítko (roztažení, dilataci) vlnky, * b\, značí časový posun vlnky, * zobrazení \langle \cdot, \cdot \rangle \colon V \times V \rightarrow \mathbb{C} značí skalární součin prostoru L^{2}(\mathbb{R}), * operátor *\, označuje spojitou konvoluci, * symbol ^{\ast} u \psi^{\ast} označuje komplexně sdruženou funkci k \psi, * \psi_{a}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \psi\left({{-t}\over{a}}\right) je spojitý filtr, který odpovídá vlnce \psi\, pro dané měřítko a\,, * \hat{f}\,, resp. \hat{\psi}_{a,b}\, značí Fourierovu transformaci f\,, resp. \psi_{a,b}\,, * dále a \in \mathbb{R}^+ , b \in \mathbb{R}\,.
Ze vztahů je patrné, že vlnkovou transformaci je možno chápat jako skalární součiny s bázemi \psi_{a,b}\,, jako integrální transformaci s jádrem \psi^{\ast}_{a,b}\, nebo jako konvoluce s funkcemi \psi^{\ast}_{a}\,. Je také možný výpočet ve frekvenční oblasti.
Transformace je vysoce redundantní.
Škálogram
Polorovina, kterou transformace tvoří (parametry a a b udávají polorovinu), se označuje jako časově-měřítková ( TS) polorovina.
Škálogram se nazývá graf, ve kterém je zobrazena hustota (množství) energie na daném měřítku a a pozici b vlnky (v Heisenbergově okně vlnky \psi_{a,b}).
: E(a,b) = \left|\left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](a,b)\right|^2
Rozdíl proti spektrogramu u krátkodobé Fourierovy transformace spočívá v obrácené orientaci osy a, resp. f (škálogram je vzhůru nohama). +more Přesněji řečeno, frekvence je nepřímo úměrná měřítku.
: f \varpropto \frac{1}{a}
Pro účely srovnání se spektrogramem je možné škálogram převést ze závislosti na měřítku na závislost na frekvenci. K tomu lze využít např. střední frekvenci f_c vlnky \hat{\psi}.
: f = \frac{f_c}{a}
Škálogramy se často vykreslují s logaritmickou osou měřítka a.
Inverzní transformace
Její inverzní forma se definuje jako
: \begin{align} f(t) &= \frac{1}{C_\psi} \int_{0}^{+_\infty} \. \. +more\. \int_{-\infty}^{+_\infty} \. [\operatorname{W}_\psi\,f](a,b) \, \psi_{a,b}(t) \, \mathrm{d}b \frac{\mathrm{d}a}{a^2} \\ &= \frac{1}{C_\psi} \int_{0}^{+_\infty} \. \. \. \int_{-\infty}^{+_\infty} \. [\operatorname{W}_\psi\,f](a,b) \, \frac{1}{\sqrt{a}} \psi\left({\frac{t-b}{a}}\right) \, \mathrm{d}b \frac{\mathrm{d}a}{a^2} \end{align}, kde * C_\psi\, je konstanta přípustnosti.
Diskrétní transformace
V případě, že koeficienty : a = {a_{0}}^{m}, b = {a_{0}}^{m} n b_0, kde * a_0>1, b_0>0\, a * m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z} jsou celočíselné konstanty, označuje se jádro transformace jako vlnkové rámce ( WF). Transformace tedy již není spojitá ale diskrétní. +more Jinými slovy je diskretizována polorovina (a,b). Transformace je stále vysoce redundantní.
O vlnkových řadách ( WS; analogicky k Fourierovým řadám) se hovoří v případě, že se z transformace odstraní nadbytečná informace. Jádro transformace pak tvoří bázi.
Nejčastěji se používá tzv. dyadické vzorkování a_0 = 2, b_0 = 1, tedy
: a = 2^m, b = n 2^m\,.
Dyadická vlnková transformace má tvar : \left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](m,n) = \frac{1}{\sqrt{2^m}} \int_{-\infty}^{+\infty} \! {f(t) \psi^\ast\left(2^{-m}t-n\right)} \, \mathrm{d}t \,, kde * m značí frekvenční měřítko, * n časové posunutí.
Dyadickou transformaci je možné přepsat jako : \left[\operatorname{W}_\psi\,f\right](m,n) = \int_{-\infty}^{+\infty} \! {f(t) h_{m}\left(2^{m}n-t\right)} \, \mathrm{d}t \,, kde * h_{m} je impulzní charakteristika spojitého filtru, který odpovídá vlnce {\psi_{m}}^\ast pro dané m.
Analogicky je definována dyadická vlnková transformace s diskrétním časem (diskrétního signálu) jako : y_{m}[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k]h_{m}[2^{m}n-k].
Pro stupeň rozkladu m=1 můžeme psát pro g = h_1: : y_{\mathrm{high}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {f[k] g[2 n - k]} a : y_{\mathrm{low}} [n] = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {f[k] h[2 n - k]} , kde h je zrcadlový filtr k g (reprezentuje vlastně všechny ostatní vlnky). Filtr h odpovídá měřítkové funkci {\phi_{m}}^\ast pro dané m.
Tento krok tvoří jeden stupeň diskrétní vlnkové transformace podle Mallatova schématu.
Princip použití
Obecně vzato, vlnky jsou matematicky konstruovány, aby měly vhodné vlastnosti například pro zpracování signálů. Vlnková transformace je v podstatě konvoluce určité vlnky (nebo jejich skupiny) s analyzovaným signálem.
Představme si například vlnku, která má frekvenci tónu střední C a krátké trvání odpovídající osminové notě. Provedeme-li v pravidelných intervalech konvoluci takovéto vlnky se signálem - nahrávkou písně - pak nám výsledky této konvoluce napoví, kdy byla nota „osminové střední C“ v nahrávce použita.
Matematicky vzato, k vysoké korelaci vlnky se signálem (vysokému korelačnímu koeficientu) dojde v těch místech (intervalech), kde signál obsahuje informaci o podobné frekvenci, tedy tam, kde je námi zvolené vlnce nejpodobnější. Tento koncept je jádrem mnoha aplikací vlnkové transformace.