Grupa rotací v trojrozměrném prostoru

Grupa rotací v trojrozměrném prostoru, v mechanice a geometrii často nazývaná SO(3), je grupa všech rotací kolem počátku souřadnic v trojrozměrném Eukleidovském prostoru \R^3 s operací skládání zobrazení. Podle definice rotace kolem počátku souřadnicového systému je to transformace, která zachovává počátek souřadnicového systému, eukleidovskou metriku (jde tedy o izometrické zobrazení) a orientaci (tj. nepřehazuje levou a pravou ruku). Každá netriviální rotace je určena svojí osou otáčení (přímkou procházející počátkem souřadnicového systému) a úhlem rotace. Složení dvou rotací dává jinou rotaci; ke každé rotaci existuje jednoznačná inverzní rotace; identita je nulovým prvkem (který také vyhovuje definici rotace). Vzhledem k výše uvedeným vlastnostem (spolu s asociativitou skládání rotací) je množina všech rotací grupou, jejíž grupovou operací je skládání zobrazení. Rotace nejsou komutativní (například rotace R o 90° v rovině x-y následovaná rotací S o 90° v rovině y-z není totéž jako S následované R), takže jde o neábelovskou grupu. Grupa rotací má navíc přirozenou strukturu jako varieta, jejíž grupové operace jsou hladce diferencovatelné; je to tedy Lieova grupa. Je to také kompaktní množina a má dimenzi 3.

Rotace jsou lineární zobrazení \R^3 a proto (je-li vybrána nějaká báze \R^3) mohou být reprezentovány maticemi. Pokud použijeme ortonormální bázi prostoru \R^3, bude každá rotace popsána ortogonální maticí 3 × 3 (tj. +more maticí 3 × 3 s reálnými prvky, kterou když znásobíme s její transponovanou maticí dostaneme jednotkovou matici) s determinantem rovným jedné. Grupu SO(3) můžeme proto ztotožnit s grupou těchto matic s operací násobení matic. Tyto matice jsou známé jako „speciální ortogonální matice“, z čehož pochází označení SO(3).

Grupa SO(3) se používá pro popis možných rotačních symetrií různých objektů, i možných orientací objektu v prostoru. Její reprezentace hrají důležitou roli ve fyzice, kde je jejich důsledkem celočíselný spin elementárních částic.

Délky a úhly

Rotace kromě zachovávání délek zachovávají také úhly mezi vektory. Vyplývá to z faktu, že standardní skalární součin dvou vektorů u a v lze zapsat výhradně pomocí délek:

:\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{2}\left(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 - \|\mathbf{u}\|^2 - \|\mathbf{v}\|^2\right).

Důsledkem je, že každá transformace zachovávající délku v \R^3 zachovává skalární součin a tedy úhel mezi vektory. Rotace se často definují jako lineární transformace, které zachovávají vnitřní součin na \R^3, což je ekvivalentní s požadavkem, že zachovávají délky. +more Tento obecnější přístup je použit v článku klasická grupa, kde se probírá jako speciální případ.

Ortogonální a rotační matice

Každá rotace převádí ortonormální bázi prostoru \R^3 na jinou ortonormální bázi. Stejně jako jakákoli lineární transformace konečněrozměrných vektorových prostorů je možné rotaci reprezentovat maticí. +more Nechť je daná rotace. Vzhledem ke standardní bázi postoru \R^3 jsou sloupce rotace . Protože standardní báze je ortonormální a protože zachovává úhly a délky, tvoří sloupce jinou ortonormální bázi. Tuto podmínku ortonormality můžeme vyjádřit ve tvaru.

:R^\mathsf{T}R = RR^\mathsf{T} = I,

kde označuje transpozici a je jednotková matice . Matice s touto vlastností se nazývají ortogonální matice. +more Grupu všech ortogonálních matic , která sestává ze všech vlastních a nevlastních rotací, značíme .

Kromě zachovávání délek, musí vlastní rotace také zachovávat orientaci. Zda matice zachovává nebo obrací orientaci závisí na tom, zda determinant matice je kladný nebo záporný. +more Pro ortogonální matice si všimněte, že naznačuje , takže . Podgrupa ortogonálních matic s determinantem se nazývá speciální ortogonální grupa a označuje se .

Každá rotace tedy může být reprezentována jednoznačně ortogonální maticí s determinantem rovným jedné. Díky tomu, že skládání rotací odpovídá násobení matic, je navíc grupa rotací je izomorfní se speciální ortogonální grupou .

Nevlastní rotace odpovídají ortogonálním maticím s determinantem ; grupu netvoří, protože součin dvou nevlastních rotací je vlastní rotace.

Struktura grupy

Grupa rotací je grupou s operací skládání funkcí (nebo ekvivalentně s násobením matic). Je podgrupou obecné lineární grupy sestávající ze všech invertovatelných lineárních transformací reálného trojrozměrného prostoru \R^3. +moren × n reálné matice jsou identické s lineárními transformacemi \R^n vyjádřenými ve své standardní bázi.

Grupa rotací je navíc neábelovskou grupu. To znamená, že záleží na pořadí, ve kterém skládáme rotace. +more Například rotace o 90° okolo kladný osy x následovaná rotací o 90° kolem kladné osy y je jiná rotace než rotace získaná otáčením nejdříve kolem osy y a pak kolem osy x.

Ortogonální grupa sestávající ze všech vlastních a nevlastních rotací je generovaná symetriemi (zrcadlením). Každá vlastní rotace je složena ze dvou symetrií (zrcadlení), což je speciální případ Cartanovy-Dieudonného věty.

Osa otáčení

Každá netriviální vlastní rotace ve trojrozměrném prostoru zachovává jednoznačný jednorozměrný vektorový podprostor prostoru \R^3, který nazýváme osa otáčení (jak praví Eulerova rotační věta). Každá taková rotace funguje jako obyčejná dvojrozměrná rotace v rovině kolmé na tuto osu. +more Protože každou dvojrozměrnou rotace můžeme reprezentovat úhlem φ, libovolná trojrozměrná rotace můžeme určit zadáním osy otáčení a úhlu otočení kolem této osy. (Technicky potřebujeme zadat orientaci osy, a zda rotace je ve směru nebo proti směru hodinových ručiček vzhledem k této orientaci).

Rotaci proti směru hodinových ručiček kolem kladné osy z o úhel φ tak popisuje vztah

:R_z(\phi) = \begin{pmatrix}\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

Je-li dán jednotkový vektor n v \R^3 a úhel φ, pak R(φ, n) reprezentuje rotaci proti směru hodinových ručiček kolem osy procházející n (s orientací určenou n). Pak

* R(0, n) je identická transformace pro jakékoli n * R(φ, n) = R(−φ, −n) * R(π + φ, n) = R(π − φ, −n).

Při použití této vlastnosti můžeme ukázat, že jakoukoli rotaci můžeme reprezentovat jednoznačným úhlem φ v rozsahu 0 ≤ φ ≤ π a jednotkovým vektorem n takovým, že * n je libovolný, pokud φ = 0 * n je jednoznačný, pokud 0 < φ < π * n je jednoznačný až na znaménko, pokud φ = π (tj. rotace R(π, ±n) jsou identické). +more V další části používáme tyto reprezentace rotace pro topologické ztotožnění SO(3) s trojrozměrným reálným projektivním prostorem.

Odkazy

Reference

Literatura

[http://www.ii.uib.no/publikasjoner/texrap/pdf/2000-201.pdf] * * * * * * (překlad původního 1932 vydání, Die Gruppentheoretische Methode v Der Quantenmechanik).

Související články

Ortogonální grupa * Moment hybnosti * Otočení * Charty na SO(3) * Reprezentace SO(3) * Eulerův úhel * Rodriguesův rotační vzorec * Infinitesimální rotace * Pinová grupa * Kvaterniony a prostorové rotace * Tuhé těleso * Sférické harmonické funkce * Rovina rotace * Lieova grupa * Pauliho matice * Plate trick * Trojrozměrný operátor rotace

Kategorie:Teorie Lieových grup