Mnohoúhelník

Mnohoúhelník (také polygon) je část roviny vymezená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné přímce. Další možná definice je tato: mnohoúhelník je část roviny omezená uzavřenou lomenou čárou takovou, že žádné tři následující koncové body jejích úseček neleží v jedné přímce.

Základní pojmy

Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují sousední vrcholy, se nazývají strany mnohoúhelníku. +more Úsečky, které spojují nesousední vrcholy, se nazývají úhlopříčky. Úhly, které svírají sousední strany, se nazývají vnitřní úhly mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník… (obecně n-úhelník).

Znázornění a zápis

Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník, …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). +more Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly.

Soubor:Mnohouhelnik.jpg

Druhy mnohoúhelníků

Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy) se mnohoúhelníky dělí na: * pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) a nepravidelné, * konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je větší než 180°), * pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, případně 270°) a nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu). * jednoduché a degenerované (alespoň 2 strany se protínají)

Vlastnosti

Obvod mnohoúhelníka P se vypočte jako součet délek všech jeho stran: : P = a + b + c + . , kde a, b, c, . +more jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka. * Obsah obecného mnohoúhelníka S se vypočte pomocí rozložení mnohoúhelníka na vhodné vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky, obdélníky nebo čtverce, jejichž obsahy S_1, S_2, . se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou: : S = S_1 + S_2 + . * Obsah mnohoúhelníka, jehož strany se nekříží, se dá spočítat Gaussovou metodou pro výpočet plochy či prostřednictvím L'Huillierových vzorců : S = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|, kde (x_{i},y_{i}) jsou souřadnice vrcholů mnohoúhelníka, x_{n+1} a y_{n+1} splývají s x_{1} a y_{1} * Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku je roven : \pi (n-2) \;\mathrm{rad} * Počet úhlopříček obecného n-úhelníku určuje vztah: : \frac{1}{2}n(n-3) * Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak je mnohoúhelníku opsaná. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá tětivový (jeho strany jsou tětivami opsané kružnice). * Každý n-úhelník lze vždy rozdělit na (n - 2) trojúhelníků.

Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku

Velikost vnitřního úhlu pravidelného n-úhelníku má hodnotu (v radiánech) : \alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi * Velikost středového, případně vnějšího úhlu je rovna : \alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n} * Pravidelnému mnohoúhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Středy obou kružnic leží ve stejném bodě, který je totožný s těžištěm mnohoúhelníku. +more * Označí-li se délka strany pravidelného n-úhelníku jako a_n a poloměr kružnice opsané jako r_n, pak poloměr \rho_n kružnice vepsané lze určit ze vztahu : \rho_n = \sqrt{r_n^2 - (a_n/2)^2} * Obsah pravidelného n-úhelníku lze určit jako : S_n = \frac{n a_n \rho_n}{2} = n \rho_n^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{n} = \frac{n\cdot a_n^2}{4\cdot \operatorname{tg}\frac{\pi}{n}} = n r_n^2 \operatorname{sin}\frac{\pi}{n} \operatorname{cos}\frac{\pi}{n} = \frac{1}{2}\ n r_n^2 \operatorname{sin}\frac{2\pi}{n} * Pravidelný n-úhelník má n os souměrnosti a pro sudé n i střed souměrnosti.

Tabulka mnohoúhelníků

:Tabulka obsahuje seznam mnohoúhelníků s názvy v češtině a v cizích slovech.

Literatura

Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, str. 98 * Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, str. +more 31-33 * Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie - Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, str. 14-16.

Související články

Geometrický útvar * Planimetrie * Mnohostěn

Externí odkazy

Kategorie:Obrazce