Konvergence náhodných proměnných

V teorii pravděpodobnosti existuje několik různých pojmů konvergence náhodných proměnných. Konvergence posloupnosti náhodných proměnných k nějaké limitní náhodné proměnné je důležitým konceptem v teorii pravděpodobnosti, a v jejích aplikacích na statistiku a náhodné procesy. Stejné koncepty jsou známy v matematice obecněji jako stochastická konvergence a formalizují očekávání, že chování posloupnosti v zásadě náhodných nebo nepředpověditelných událostí se někdy může ustálit do formy, která se v zásadě nemění, když zkoumáme položky, které jsou v posloupnosti dostatečně daleko. Různé typy konvergence se odvíjejí od toho, jak lze takové chování charakterizovat: dva snadno představitelné případy jsou, že posloupnost začne být od určitého členu konstantní, nebo že hodnoty posloupnosti se budou dále měnit, ale bude možné je popsat nějakým pevným rozdělením pravděpodobnosti.

Pozadí

„Stochastická konvergence“ formalizuje myšlenku, že můžeme očekávat, že posloupnost v zásadě náhodných nebo nepředpověditelných událostí se někdy může ustálit a vyhovovat určitému vzoru. Tímto vzorem může například být * Konvergence v klasickém smyslu k pevné hodnotě, která snad vychází z náhodné události * Rostoucí podobnost výsledků s tím, co by produkovala čistě deterministická funkce * Rostoucí preference k určitému výsledku * Rostoucí „odpor“ proti odchylce od určitého výsledku * Že rozdělení pravděpodobnosti popisující další výsledek se může postupně stále více podobat určitému rozdělení

K méně zjevným, teoretičtějším, vzorům patří * Že posloupnost středních hodnot vzdáleností výsledku od určité hodnoty může konvergovat k 0 * Že rozptyl náhodné veličiny popisující další událost se zmenšuje. Tyto další typy vzorů, které se mohou objevit, jsou popsány různými typy stochastické konvergence, které se zkoumají.

Zatímco výše uvedená diskuze se týkala konvergence jedné posloupnosti k limitní hodnotě, důležitý je také pojem konvergence dvou posloupností k sobě navzájem. Ten však lze snadno převést na studium posloupnosti definované jako rozdíl anebo poměr dvou posloupností.

Pokud je například průměr n statisticky nezávislých náhodných proměnných Yi, i = 1, ..., n, které všechny mají stejnou konečnou střední hodnotu a rozptyl, popsán vztahem

:X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\,

pak, když se n blíží k nekonečnu, konverguje v pravděpodobnosti (viz níže) ke společné střední hodnotě μ, náhodných proměnných Yi. Tento výsledek je znám jako „slabý zákon velkých čísel“. +more Jiné formy konvergence jsou důležité v jiných užitečných větách, včetně centrální limitní věty.

V následujícím textu předpokládáme, že (Xn) je posloupnost náhodných proměnných a X je náhodná proměnná, přičemž všechny jsou definované na stejném pravděpodobnostním prostoru (\Omega, \mathcal{F}, \operatorname{Pr} ).

Konvergence v rozdělení{{Kotva|Konvergence v distribuci}}

{{Infobox|titul= Příklady konvergence v distribuci| bodystyle = width: 28em;| headerstyle = background-color: lightblue; text-align: left; padding-left: 3pt;| datastyle = text-align: left;| header1 = Továrna na házecí kostky| data2 = Předpokládejme, že byla postavena továrna na výrobu házecích kostek. První vyrobené kostky byly kvůli nepřesnostem při výrobě dost nepoctivé. +more Výsledek hodu libovolnou z nich odpovídá rozdělení, které se značně odlišuje od požadovaného rovnoměrného rozdělení.

Jak se výrobní proces zlepšuje, kostky jsou stále lepší, a výsledky vrhu s nově vyrobenými kostkami odpovídají rovnoměrného rozdělení stále lépe. | header3 = Hod mincí| data4 = Nechť je podíl hlav po hodech poctivou mincí. +more Pak náhodná proměnná má alternativní rozdělení s očekávanou hodnotou a variancí . Následující náhodné proměnné budou mít všechny binomické rozdělení.

Pokud se zvětšuje, toto rozdělení bude postupně nabývat tvaru, který se stále více podobá normálnímu rozdělení. Pokud vhodným způsobem posuneme a přeškálujeme, pak \scriptstyle Z_n = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(X_n-\mu) bude konvergovat v distribuci ke standardnímu normálnímu rozdělení, což je výsledek, který odpovídá oslavované centrální limitní větě. +more| header5 = Grafický příklad| data6 = Předpokládejme, že {{math|{Xi} }} je posloupnost nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením . Nechť \scriptstyle Z_n = {\scriptscriptstyle\frac{1}{\sqrt{n}}}\sum_{i=1}^n X_i jsou jejich (normalizované) sumy. Pak podle centrální limitní věty rozdělení proměnných se blíží normálnímu rozdělení N(0, \frac{1}{3}). Tato konvergence je ukázána na obrázku: s rostoucím se tvar funkce hustoty rozdělení blíží Gaussově křivce. 200px}}.

U tohoto typu konvergence stále více očekáváme, že uvidíme, že další výsledek v posloupnosti náhodných pokusů budou lépe modelovat daným rozdělením pravděpodobnosti.

Konvergence v rozdělení je nejslabším z typů konvergence se kterými se běžně pracuje, protože vyplývá ze všech dalších typů konvergence, které popisuje tento článek. Konvergence v rozdělení se však často používá v praxi; nejčastěji se objevuje při použití centrální limitní věty.

Definice

O posloupnosti reálných náhodných proměnných řekneme, že konverguje v rozdělení nebo konverguje slabě nebo konverguje v zákoně k náhodné proměnné , pokud

: \lim_{n\to\infty} F_n(x) = F(x),

pro každou hodnotu x \in \mathbb{R}, v níž je funkce spojitá. a jsou distribuční funkce náhodných proměnných , resp. .

Požadavek, uvažovat pouze body, v nichž je funkce spojitá, je nutný. Pokud například mají rovnoměrné rozdělení na intervalech (0, \frac{1}{n}), pak tato posloupnost konverguje v rozdělení k degenerované náhodné proměnné X = 0. +more Protože Fn(x) = 0 pro všechna n, když , a pro všechna x \geq \frac{1}{n} když . Ale, pro tuto limitní náhodnou proměnnou , přestože pro všechna . Konvergence distribuční funkce tedy selže v bodě , kde je funkce nespojitá.

Konvergence v rozdělení se značí

:{{Vzorec| :X_n \xrightarrow{d} X :X_n \xrightarrow{\mathcal{D}} X, :X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X, :X_n \xrightarrow{d} \mathcal{L}_X, :X_n \rightsquigarrow X, :X_n \Rightarrow X, :\mathcal{L}(X_n)\to\mathcal{L}(X), |Vzorec 1}}

kde \scriptstyle\mathcal{L}_X je zákon (rozdělení pravděpodobnosti) proměnné . Pokud například je standardní normální rozdělení, můžeme psát X_n\,\xrightarrow{d}\,\mathcal{N}(0,\,1).

Pro náhodné vektory {{math|{X1, X2, . } ⊂ Rk}} je konvergence v rozdělení definována podobně. +more Říkáme, že tato posloupnost konverguje v rozdělení k náhodnému -vektoru pokud : \lim_{n\to\infty} \operatorname{Pr}(X_n\in A) = \operatorname{Pr}(X\in A) pro každé , které je množinou spojitosti proměnné .

Definice konvergence v rozdělení může být rozšířena z náhodných vektorů na obecnější náhodné prvky v libovolných metrických prostorech, a dokonce i na „náhodné proměnné“, které nejsou měřitelné, což je situace, která se objevuje například při studiu empirických procesů. To je „slabá konvergence rozdělení bez toho, že by rozdělení bylo definováno jinak než asymptoticky“.

V tomto případě je vhodnější termín slabá konvergence (viz slabá konvergence míry), a říkáme, že posloupnost náhodných prvků {{math|{Xn} }} konverguje slabě k (značíme ), pokud : \operatorname{E}^*h(X_n) \to \operatorname{E}\,h(X) pro všechny spojité omezené funkce . E* zde označuje vnější očekávanou hodnotu, což je očekávaná hodnota „nejmenší měřitelné funkce , která dominuje “.

Vlastnosti

Protože , konvergence v rozdělení znamená, že pravděpodobnost je v daném rozsahu přibližně rovna pravděpodobnosti, že hodnota je v tomto rozsahu, za předpokladu, že je dostatečně velké. * Konvergence v rozdělení obecně neznamená, že posloupnost odpovídajících hustot pravděpodobnosti bude také konvergovat. +more Jako příklad můžeme uvažovat náhodné proměnné s hustotami . Tyto náhodné proměnné konvergují v rozdělení k rovnoměrnému rozdělení U(0, 1), zatímco jejich hustoty nekonverguje vůbec. ** Ale, podle Schefféovys věty, konvergence hustot pravděpodobností implikuje konvergenci v rozdělení. * Portmanteauovo lemma poskytuje několik ekvivalentních definic konvergence v rozdělení. Tyto definice jsou sice méně intuitivní, ale používají se pro důkaz několika statistických vět. Lemma říká, že {{math|{Xn} }} konverguje v rozdělení k právě tehdy, když je splněno libovolné z následujících tvrzení: ** \Pr(X_n \le x) \to \Pr(X \le x) pro všechny body spojitosti funkce x\mapsto \Pr(X \le x); ** \operatorname{E}f(X_n) \to \operatorname{E}f(X) pro všechny omezené, spojité funkce f (kde \operatorname{E} označuje operátor střední hodnoty); ** \operatorname{E}f(X_n) \to \operatorname{E}f(X) pro všechny omezené Lipschitzovské funkce f; ** \lim\inf \operatorname{E}f(X_n) \ge \operatorname{E}f(X) pro všechny nezáporné spojité funkce f; ** \lim\inf \Pr(X_n \in G) \ge \Pr(X \in G) pro každou otevřenou množinu G; ** \lim\sup \Pr(X_n \in F) \le \Pr(X \in F) pro každou uzavřenou množinu F; ** \Pr(X_n \in B) \to \Pr(X \in B) pro všechny množiny spojitosti B náhodné proměnné X; ** \limsup \operatorname{E}f(X_n) \le \operatorname{E}f(X) pro každou shora polospojitou funkci f omezenou shora; ** \liminf \operatorname{E}f(X_n) \ge \operatorname{E}f(X) pro každou zdola polospojitou funkci f omezenou zdola. * Věta o spojitém zobrazení říká, že pro spojité funkce , pokud posloupnost {{math|{Xn} }} konverguje v rozdělení k , pak {{math|{g(Xn)} }} konverguje v rozdělení k . ** Všimněte si však, že konvergence v rozdělení proměnné {{math|{Xn} }} k a {{math|{Yn} }} k obecně neznamená konvergenci v rozdělení {{math|{Xn + Yn} }} k nebo {{math|{XnYn} }} k . * Lévyho věta o spojitosti: posloupnost {{math|{Xn} }} konverguje v rozdělení k právě tehdy, když posloupnost odpovídajících charakteristických funkcí {{math|{φn} }} konverguje bodově k charakteristické funkci proměnné . * Konvergence v rozdělení je metrizovatelná pomocí Lévyho-Prochorovovy metriky. * Přirozený odkaz na konvergenci v rozdělení je Skorochodova věta o reprezentaci.

Konvergence v pravděpodobnosti

Základní myšlenka za tímto typem konvergence je, že pravděpodobnost „neobvyklého“ výsledku se s prodlužováním posloupnosti zmenšuje.

Koncept konvergence v pravděpodobnosti se používá velmi často ve statistice. Například odhad se nazývá konzistentní, pokud konverguje v pravděpodobnosti k hodnotě, která je odhadována. +more Konvergence v pravděpodobnosti je také typem konvergence, která se používá v zákonu velkých čísel.

Definice

Posloupnost {Xn} náhodných proměnných konverguje v pravděpodobnosti k náhodné proměnné X, pokud pro všechna ε > 0

: \lim_{n\to\infty}\Pr\big(|X_n-X| > \varepsilon\big) = 0.

Podrobněji: nechť Pn(ε) je pravděpodobnost, že Xn je mimo kouli o poloměru ε se středem v X. Pak o posloupnosti řekneme, že konverguje v pravděpodobnosti k X, pokud pro jakékoli a jakékoli δ > 0 existuje číslo N (které může záviset na ε a δ) takové, že pro všechna n ≥ N, Pn(ε) n nezávislé (a tedy konvergence v pravděpodobnosti je podmínkou na sdružené distribuční funkce, čímž se liší od konvergence v rozdělení, která je podmínkou na jednotlivé distribuční funkce), pokud žádné X není deterministické jako pro slabý zákon velkých čísel. +more Zároveň případ deterministického X nemůže být, když je deterministickou hodnotou (neizolovaný) bod diskontinuity, proveden na konvergenci v rozdělení, kde body diskontinuity musejí být explicitně vynechané.

Konvergence v pravděpodobnosti se značí písmenem p nad šipkou značící konvergenci nebo pomocí operátoru „plim“ pravděpodobnostní limity: :{{Vzorec| X_n \ \xrightarrow{p}\ X,\ \ X_n \ \xrightarrow{P}\ X,\ \ \underset{n\to\infty}{\operatorname{plim}}\, X_n = X.|Vzorec 2}}

Pro náhodné prvky {Xn} na separabilním prostoru je konvergence v pravděpodobnosti definována podobně vztahem : \forall\varepsilon>0, \Pr\big(d(X_n,X)\geq\varepsilon\big) \to 0.

Vlastnosti

Konvergence v pravděpodobnosti implikuje konvergence v rozdělení. [[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propA2|[důkaz]]] * V opačném směru konvergence v rozdělení implikuje konvergenci v pravděpodobnosti, když limitní náhodná proměnná X je konstanta. +more[[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propB1|[důkaz]]] * Konvergence v pravděpodobnosti neznamená konvergenci skoro jistě. [[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propA1i|[důkaz]]] * Věta o spojitém zobrazení říká, že pro každou spojitou funkci , pokud X_n \xrightarrow{p} X, pak také {{nowrap|g(X_n)\xrightarrow{p}g(X). }} * Konvergence v pravděpodobnosti definuje topologii na prostoru náhodných proměnných nad pevným pravděpodobnostním prostorem. Toto topologie je metrizovatelná Ky Fanovou metrikou: d(X,Y) = \inf\. \big\{ \varepsilon>0:\ \Pr\big(|X-Y|>\varepsilon\big)\leq\varepsilon\big\}, případně metrikou d(X,Y)=\mathbb E\left\langle \min(|X-Y|, 1)\right\rangle .

Konvergence skoro jistě

Tento typ stochastické konvergence se nejvíce podobá bodové konvergenci používané v elementární reálné analýze.

Definice

Řekneme, že posloupnost konverguje skoro jistě nebo skoro všude nebo s pravděpodobností 1 nebo silně k X, pokud : \operatorname{Pr}\!\left( \lim_{n\to\infty}\! X_n = X \right) = 1.

To znamená, že hodnoty se blíží k hodnotě X, v tom smyslu (viz skoro jistě), že jevy, pro které nekonverguje k X mají pravděpodobnost 0. Pokud použijeme pravděpodobnostní prostor (\Omega, \mathcal{F}, \operatorname{Pr} ) a koncept náhodné proměnné jako funkce z Ω do R, je tato definice ekvivalentní s : \operatorname{Pr}\Big( \omega \in \Omega : \lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega) \Big) = 1.

Pomocí pojmu limes superior posloupnosti množin můžeme konvergenci skoro jistě definovat také takto: : \operatorname{Pr}\Big( \limsup_{n\to\infty} \big\{\omega \in \Omega : | X_n(\omega) - X(\omega) | > \varepsilon \big\} \Big) = 0 \quad\text{for all}\quad \varepsilon>0.

Konvergence skoro jistě se často označuje přidáním písmen s.j. nad šipku značící konvergenci: :{{Vzorec|\overset{}{X_n \, \xrightarrow{\mathrm{s.j.}} \, X.}|Vzorec 3}}

Pro obecné náhodné prvky {Xn} na metrickém prostoru (S,d) je konvergence skoro jistě definována podobně: : \operatorname{Pr}\Big( \omega\in\Omega:\, d\big(X_n(\omega),X(\omega)\big)\,\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\,0 \Big) = 1

Vlastnosti

Konvergence skoro jistě implikuje konvergenci v pravděpodobnosti (podle Fatouova lemmatu), a tedy implikuje konvergenci v rozdělení. Je to pojem konvergence používaný v silném zákonu velkých čísel. +more * Koncept konvergence skoro jistě nepochází z topologie na prostoru náhodných proměnných. To znamená, že na prostoru náhodných proměnných neexistuje žádná topologie taková, že skoro jistě konvergentní posloupnosti podle této topologie konvergují přesně. Speciálně neexistuje žádná metrika konvergence skoro jistě.

Jistá konvergence nebo bodová konvergence

Řekneme, že posloupnost náhodných veličin (Xn) definovaných na stejném pravděpodobnostním prostoru (tj. náhodný proces) konverguje jistě nebo všude nebo bodově k X pokud \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega), \, \, \forall \omega \in \Omega. +more kde Ω je prostor elementárních jevů podkladových Pravděpodobnostní prostor, na němž jsou náhodné proměnné definované.

Jedná se o rozšíření pojmu bodové konvergence posloupnosti funkcí na posloupnost náhodných veličin. (Náhodné veličiny samy o sobě jsou funkcemi).

\left\{\omega \in \Omega \mid \lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega) \right\} = \Omega.

Jistá konvergence náhodné proměnné implikuje všechny další druhy konvergence uvedené výše, ale v teorii pravděpodobnosti nepřináší jistá konvergence žádnou výhodu v porovnání s konvergencí skoro jistě. Tyto dva druhy konvergence se liší pouze na množinách míry nula. +more To je důvodem, proč se koncept jisté konvergence náhodných proměnných používá velmi zřídka.

Konvergence ve střední hodnotě

Je-li dáno reálné číslo , pak řekneme, že posloupnost konverguje v r-té střední hodnotě (nebo v Lr-normě) k náhodné proměnné X, pokud existují -té absolutní momenty E(|Xn|r ) a E(|X|r ) proměnných a X, a : \lim_{n\to\infty} \operatorname{E}\left( |X_n-X|^r \right) = 0, kde operátor E označuje střední hodnotu. Konvergence v -té střední hodnotě nám říká, že očekávaná hodnota -té mocniny rozdílu mezi X_n a X konverguje k nule.

Tento typ konvergence se obvykle značí písmenem Lr nad šipkou značící konvergenci:

:{{Vzorec|\overset{}{X_n \, \xrightarrow{L^r} \, X.}|Vzorec 4}}

Nejdůležitější případy konvergence v r-té střední hodnotě jsou: * Když konverguje v r-té střední hodnotě k X pro r = 1, říkáme, že konverguje ve střední hodnotě k X. * Když konverguje v r-té střední hodnotě k X pro r = 2, říkáme, že konverguje ve čtverci střední hodnoty (nebo v kvadratická střední hodnotě) k X.

Konvergence v r-té střední hodnotě, pro r ≥ 1, implikuje konvergenci v pravděpodobnosti (podle Markovovy nerovnosti). Pokud navíc platí, že r > s ≥ 1, konvergence v r-té střední hodnotě implikuje konvergenci v s-té střední hodnotě. +more Konvergence ve čtverci střední hodnoty tedy implikuje konvergenci ve střední hodnotě.

Stojí za to také zmínit, že pokud :\overset{}{X_n \xrightarrow{L^r} X}, pak : \lim_{n \to \infty} E[|X_n|^r] = E[|X|^r]

Vlastnosti

Za předpokladu, že pravděpodobnostní prostor je úplný: * Pokud X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ X a X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ Y, pak X=Y skoro jistě. * Pokud X_n\ \xrightarrow{\overset{}\text{s. +morej. }}\ X a X_n\ \xrightarrow{\overset{}\text{s. j. }}\ Y, pak X=Y skoro jistě. * Pokud X_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^r}}\ X a X_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^r}}\ Y, pak X=Y skoro jistě. * Pokud X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ X a Y_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ Y, pak aX_n+bY_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ aX+bY (pro jakákoli reálná čísla a ) a X_n Y_n\xrightarrow{\overset{}{p}}\ XY. * Pokud X_n\ \xrightarrow{\overset{}\text{s. j. }}\ X a Y_n\ \xrightarrow{\overset{}\text{s. j. }}\ Y, pak aX_n+bY_n\ \xrightarrow{\overset{}\text{s. j. }}\ aX+bY (pro jakákoli reálná čísla a ) a X_n Y_n\xrightarrow{\overset{}\text{s. j. }}\ XY. * Pokud X_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^r}}\ X a Y_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^r}}\ Y, pak aX_n+bY_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^r}}\ aX+bY (pro jakákoli reálná čísla a ). * Žádné z výše uvedených tvrzení neplatí pro konvergenci v rozdělení.

Implikace mezi různými pojmy konvergence jsou uvedeny v částech o jednotlivých typech konvergence. Platí následující:

: \begin{matrix} \xrightarrow{\overset{}{L^s}} & \underset{s>r\geq1}{\Rightarrow} & \xrightarrow{\overset{}{L^r}} & & \\ & & \Downarrow & & \\ \xrightarrow{\text{s. j. +more}} & \Rightarrow & \xrightarrow{p} & \Rightarrow & \xrightarrow{d} \end{matrix}.

Tyto vlastnosti, spolu s několika dalšími speciálními případy, jsou shrnuty v následujícím seznamu:

* Konvergence skoro jistě implikuje konvergenci v pravděpodobnosti:[[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propA1|[důkaz]]] *:X_n\ \xrightarrow{\text{s. j. +more}}\ X \quad\Rightarrow\quad X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ X * Konvergence v pravděpodobnosti implikuje existenci podposloupnosti (n_k), která konverguje skoro jistě: *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ X \quad\Rightarrow\quad X_{n_k}\ \xrightarrow{\text{s. j. }}\ X * Konvergence v pravděpodobnosti implikuje konvergenci v rozdělení:[[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propA2|[důkaz]]] *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ X \quad\Rightarrow\quad X_n\ \xrightarrow{\overset{}{d}}\ X * Konvergence v r-tém řádu střední hodnoty implikuje konvergenci v pravděpodobnosti: *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^r}}\ X \quad\Rightarrow\quad X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ X * Konvergence v r-tém řádu střední hodnoty implikuje konvergenci v nižším řádu střední hodnoty za předpokladu, že oba řády jsou větší nebo rovny jedné: *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^r}}\ X \quad\Rightarrow\quad X_n\ \xrightarrow{\overset{}{L^s}}\ X, za předpokladu, že r ≥ s ≥ 1. * Pokud Xn konverguje v rozdělení ke konstantě c, pak Xn konverguje také v pravděpodobnosti k c:[[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propB1|[důkaz]]] *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{d}}\ c \quad\Rightarrow\quad X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ c, za předpokladu, že c je konstanta. * Pokud konverguje v rozdělení k X a rozdíl mezi Xn a Yn konverguje v pravděpodobnosti k nule, pak Yn také konverguje v rozdělení k X:[[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propB2|[důkaz]]] *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{d}}\ X,\ \ |X_n-Y_n|\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ 0\ \quad\Rightarrow\quad Y_n\ \xrightarrow{\overset{}{d}}\ X * Pokud konverguje v rozdělení k X a Yn konverguje v rozdělení ke konstantě c, pak sdružený vektor konverguje v rozdělení k : [[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propB3|[důkaz]]] *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{d}}\ X,\ \ Y_n\ \xrightarrow{\overset{}{d}}\ c\ \quad\Rightarrow\quad (X_n,Y_n)\ \xrightarrow{\overset{}{d}}\ (X,c) za předpokladu, že c je konstanta. *:Všimněte si, že podmínka, že konverguje ke konstantě, je důležitá, pokud by konvergovala k náhodné proměnné Y, pak bychom nebyli schopni dojít k závěru, že konverguje k . * Pokud Xn konverguje v pravděpodobnosti k X a Yn konverguje v pravděpodobnosti k Y, pak sdružený vektor konverguje v pravděpodobnosti k : [[Důkazy konvergence náhodných proměnných#propB4|[důkaz]]] *: X_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ X,\ \ Y_n\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ Y\ \quad\Rightarrow\quad (X_n,Y_n)\ \xrightarrow{\overset{}{p}}\ (X,Y) * Pokud konverguje v pravděpodobnosti k X, a, pokud P(|Xn| \leq b) = 1 pro všechna n a nějaké b, pak konverguje v r-té střední hodnotě k X pro všechna . Jinými slovy, pokud konverguje v pravděpodobnosti k X a všechny náhodné proměnné jsou skoro jistě omezené výše a níže pak konverguje k X také v jakékoli r-té střední hodnotě. * Skoro jistá reprezentace. Konvergence v rozdělení obvykle neznamená konvergenci skoro jistě. Ale pro danou posloupnost {Xn}, která konverguje v rozdělení k X0 je vždy možné najít jiný pravděpodobnostní prostor (Ω, F, P) a náhodné proměnné {Yn, n = 0, 1, . } na něm definované takové, že Yn jsou v rozdělení rovny pro každé , a Yn konverguje k Y0 skoro jistě. * Pokud pro všechna ε > 0, *::\sum_n \mathbb{P} \left(|X_n - X| > \varepsilon\right) *:pak říkáme, že konverguje téměř úplně nebo téměř v pravděpodobnosti k X. Když konverguje téměř úplně k X pak také konverguje skoro jistě k X. Jinými slovy, pokud konverguje v pravděpodobnosti k X dostatečně rychle (tj. výše uvedenou posloupnost ocasních pravděpodobností lze sčítat pro všechna ), pak také konverguje skoro jistě k X. To je přímým důsledkem Borelova-Cantelliho lemmatu. * Pokud je suma n reálných nezávislých náhodných proměnných: *::S_n = X_1+\cdots+X_n \, *:pak konverguje skoro jistě právě tehdy, když konverguje v pravděpodobnosti. * Lebesgueova věta dává postačující podmínky, aby z konvergence skoro jistě plynula konvergence L1: *::{{Vzorec|\left. \begin{matrix} X_n\xrightarrow{\overset{}\text{s. j. }} X \\ |X_n| |Vzorec 5}}.

* Nutná a postačující podmínka pro L1 konvergenci je X_n\xrightarrow{\overset{}{P}} X a aby posloupnost (Xn) byla stejnoměrně integrovatelná.

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

https://www. ma. +moreutexas. edu/users/gordanz/notes/weak. pdf * Tento článek obsahuje materiál z článku [url=http://en. citizendium. org/wiki/Stochastic_convergence]„Stochastic convergence“[/url] na webu Citizendium, který je licencován podle Creative Commons Attribution-ShareAlike 3. 0 Unported License, ne však podle GFDL.

Související články

Důkazy konvergence náhodných proměnných * Konvergence měr * Konvergence v míře * Spojitý stochastický proces: otázka spojitosti náhodného procesu je v zásadě otázkou konvergence, a mnoho stejných konceptů a vztahů používaných výše se vztahuje na otázky spojitosti. * Asymptotické rozdělení * Velké O v pravděpodobnostní notaci * Skorochodova věta o reprezentaci * Tweedieova věta o konvergenci * Cramérova-Sluckého věta * Věta o spojitém zobrazení

Externí odkazy

Kategorie:Konvergence (matematika)